Чтобы проверить правдивость утверждений Барона, давайте рассмотрим данные условия.

Первая ситуация: у Барона 25 друзей, все дружны и имеют некоторый суммарный возраст. Он утверждает, что может разделить своих друзей на две группы, в каждой из которых средний возраст равен 15. Это означает, что сумма возрастов в каждой из групп равна:

[
\text{Сумма возрастов в группе} = \text{Средний возраст} \times \text{Количество людей} = 15 \times n
]

где ( n ) — это количество людей в группе. Если группы равные (по 12.5 человек, что невозможно), то каждая группа не может иметь целое число людей. Поэтому, давайте рассмотрим варианты, где количество в группах разное:

Пусть одна группа имеет ( n_1 ) друзей, а другая ( n_2 ). Так как ( n_1 + n_2 = 25 ), то можно описать всё следующим образом:

[
\text{Сумма возрастов в первой группе} = 15n_1 \
\text{Сумма возрастов во второй группе} = 15n_2
]

Сумма возрастов всех друзей будет равна:

[
S = 15n_1 + 15n_2 = 15(n_1 + n_2) = 15 \times 25 = 375
]

Таким образом, сумма возрастов всех друзей равна 375. Условие о среднем возрасте не ставит ограничений на то, кто в какую группу попадет, так что это условие выполнимо.

Вторая ситуация: барон также утверждает, что может разделить друзей на две группы, где средний возраст в одной группе вдвое больше, чем в другой. Обозначим средний возраст первой группы как ( a ), тогда средний возраст второй группы будет ( b = \frac{a}{2} ).

Запишем уравнение для сумм возрастов:

[
\text{Сумма возрастов в первой группе} = a \times n_1 \
\text{Сумма возрастов во второй группе} = b \times n_2 = \frac{a}{2} \times n_2
]

Тогда сумма возрастов всех друзей равна:

[
S = a n_1 + \frac{a}{2} n_2 = a n_1 + \frac{a}{2} (25 - n_1) = a n_1 + \frac{a}{2} (25) - \frac{a}{2} n_1 = a \frac{n_1}{2} + \frac{25a}{2}
]

Это означает, что:

[
375 = \frac{a n_1 + 25a}{2}
]

Это уравнение можно упростить и решить:

[
750 = a n_1 + 25a \
750 = a(n_1 + 25)
]

Отсюда ( a = \frac{750}{n_1 + 25} ). Чтобы ( a ) и ( b ) (где ( b = \frac{a}{2} )) были целыми числами, ( n_1 + 25 ) должно делить 750 нацело.

Делим 750 на его делители.

Делители 750: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150, 250, 375, 750.

Не забываем, что ( n_1 ) может принимать значения от 0 до 25.

Рассмотрим различные значения:

Если ( n_1 = 0 ) , ( a = 30 ), ( b = 15 ).Если ( n_1 = 1 ) , ( a = 14.76 ) (не является целым).Если ( n_1 = 5 ) , ( a = 10 ), ( b = 5 ).

Таким образом, видно, что существует способ разделить группы с средними, как описано его утверждением.

В итоге, Барон не хвастается, так как оба условия могут быть выполнены!