Векторное произведение двух векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) можно найти с помощью определителя матрицы, где первая строка содержит единичные векторы (\mathbf{i}), (\mathbf{j}) и (\mathbf{k}), а следующие строки содержат координаты векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}).

Даны векторы:
[
\mathbf{a} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 5\mathbf{k}
]
[
\mathbf{b} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}
]

Векторное произведение (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) можно записать как:

[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
2 & 3 & 5 \
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
]

Теперь вычислим этот определитель:

Распишем его по первому ряду:

[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & 5 \ 1 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & 5 \ 1 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 1 & 1 \end{vmatrix}
]

Посчитаем каждый из определителей:

[
\begin{vmatrix} 3 & 5 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = (3 \cdot 1 - 5 \cdot 1) = 3 - 5 = -2
]

[
\begin{vmatrix} 2 & 5 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1 - 5 \cdot 1) = 2 - 5 = -3
]

[
\begin{vmatrix} 2 & 3 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1 - 3 \cdot 1) = 2 - 3 = -1
]

Подставим найденные значения обратно:

[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k}(-1)
]

Это упрощается до:

[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - \mathbf{k}
]

Таким образом, векторное произведение (\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - \mathbf{k}).