Давайте обозначим площадь треугольника ABC как ( S_{ABC} = 38 ). Точка D делит сторону AB в отношении ( AD:DB = 4:15 ). Это означает, что точка D делит сторону AB на две части, которые можно выразить через общее деление:

[
AD = 4k, \quad DB = 15k
]
Тогда длина отрезка AB будет:

[
AB = AD + DB = 4k + 15k = 19k
]

Теперь определим, какую часть площади треугольника ABC занимает площадь треугольника ABD и площадь треугольника BCD. Площадь треугольника пропорциональна основанию, если высота из вершины C на сторону AB остаётся постоянной.

Обозначим площадь треугольника ABD как ( S{ABD} ) и площадь треугольника BCD как ( S{BCD} ). Так как D делит AB в отношении 4:15, то:

[
\frac{S{ABD}}{S{BCD}} = \frac{AD}{DB} = \frac{4}{15}
]

Обозначим ( S{ABD} = 4x ) и ( S{BCD} = 15x ). Тогда общая площадь треугольника ABC:

[
S{ABC} = S{ABD} + S_{BCD} = 4x + 15x = 19x
]

Поскольку ( S_{ABC} = 38 ), можем записать:

[
19x = 38 \implies x = 2
]

Теперь найдем площади треугольников ABD и BCD:

[
S{ABD} = 4x = 4 \cdot 2 = 8,
]
[
S{BCD} = 15x = 15 \cdot 2 = 30.
]

Итак, площадь треугольника BCD равна ( \boxed{30} ).