Для нахождения высоты цилиндра, используя известные параметры, можно воспользоваться формулой для площади боковой поверхности цилиндра:

[
S_{\text{бок}} = 2 \pi r h
]

где:

( S_{\text{бок}} ) — площадь боковой поверхности,( r ) — радиус основания,( h ) — высота цилиндра.

Из условия задачи нам известно, что площадь боковой поверхности ( S_{\text{бок}} = 4\pi ), и диаметр основания ( d = 10 ). Чтобы найти радиус основания, используем формулу:

[
r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5
]

Теперь подставим известные значения в формулу для площади боковой поверхности:

[
4\pi = 2 \pi (5) h
]

Теперь упростим правую часть уравнения:

[
4\pi = 10\pi h
]

Теперь избавимся от ( \pi ), поделив обе стороны на ( \pi ):

[
4 = 10h
]

Теперь найдем высоту ( h ):

[
h = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}
]

Итак, высота цилиндра равна ( \frac{2}{5} ).