Давайте разберемся с вашим решением шаг за шагом.

Начнем с выражения $12\sqrt{2}\cdot \cos (-255^{\circ })$.

Косинус - четная функция, поэтому:
$$\cos (-255^{\circ })=\cos (255^{\circ })$$ Из этого следует, что:
$$12\sqrt{2}\cdot \cos (-255^{\circ })=12\sqrt{2}\cdot \cos (255^{\circ })$$

Теперь давайте выясним, как вычислить $\cos (255^{\circ })$. Угол $255^{\circ }$ находится в третьем квадранте (180° < 255° < 270°), и для косинуса в третьем квадранте справедливо, что он отрицателен. Мы можем выразить $255^{\circ }$ как:
$$\cos (255^{\circ })=\cos (180^{\circ }+75^{\circ })=-\cos (75^{\circ })$$ Где ( \cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ ).

В данном случае, значения известны:
[
\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
]
Следовательно:
[
\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
]

Теперь подставим это значение в выражение:
[
\cos(255^\circ) = -\cos(75^\circ) = -\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
]

Таким образом:
[
12\sqrt{2} \cdot \cos(255^\circ) = 12\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = -3\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2}) = -3\sqrt{12} + 3\sqrt{4}
]
[
= -6 + 6 = 0
]

Короче говоря, в вашем изначальном решении было множество путаниц с знаками и углами, что привело к ошибке в конечном результате. Верный ответ, скорее всего, касается конкретного значения косинуса угла, который вы пытались вычислить, и я рекомендую пересмотреть детали вычислений, чтобы избежать подобных ошибок в будущем.

Если я что-то не учел или у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!