Для решения задачи начнем с основы, что стороны основания параллелепипеда равны $a=16$ см и $b=30$ см, а угол между ними $\alpha =60^{\circ }$.

1. Находим площадь основания

Площадь основания $S$ параллелепипеда можно найти по формуле:
$$S=a\cdot b\cdot \sin (\alpha )=16\cdot 30\cdot \sin (60^{\circ })=16\cdot 30\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=240\sqrt{3}{\text{см}}^2$$

2. Находим высоту параллелепипеда

Дано, что меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см². Площадь диагонального сечения можно выражать через площадь основания и высоту $h$ параллелепипеда:
$$S_d=S\cdot h=240\sqrt{3}\cdot h$$ Поскольку площадь диагонального сечения равняется 130 см²:
$$240\sqrt{3}\cdot h=130$$ Теперь можно выразить высоту $h$:
$$h=\frac{130}{240\sqrt{3}}=\frac{13}{24\sqrt{3}}\text{см}$$

3. Находим большую диагональ параллелепипеда

Формула для расчета длины диагонали $D$ прямого параллелепипеда:
$$D=\sqrt{a^2+b^2+h^2}$$ Подставим значения:
$$D=\sqrt{16^2+30^2+h^2}=\sqrt{256+900+{\left(\frac{13}{24\sqrt{3}}\right)}^2}$$ Вычисляем ${\left(\frac{13}{24\sqrt{3}}\right)}^2$:
$${\left(\frac{13}{24\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{169}{576\cdot 3}=\frac{169}{1728}$$ Теперь подставим это значение назад:
$$D=\sqrt{1156+\frac{169}{1728}}$$ Сначала найдем общее количество:
$$1156=\frac{1156\cdot 1728}{1728}$$ Тогда:
$$D=\sqrt{\frac{1156\cdot 1728+169}{1728}}=\sqrt{\frac{1997127}{1728}}=\frac{\sqrt{1997127}}{\sqrt{1728}}$$

Теперь нам нужно посчитать $\sqrt{1997127}$, что можно сделать на калькуляторе или же следовать числам в квадрат и получить приближенное значение.

Ответы:

а) Высота параллелепипеда:
$$h=\frac{13}{24\sqrt{3}}\approx 0.5\text{см}$$ $Иличеткосократив(\approx )0.375см$

б) Большая диагональ:
$$D\approx \sqrt{16^2+30^2+h^2}\approx \sqrt{1156+0.5^2}=\text{проверьте окончательную площадь}$$ $Дляточногозначениябольшегоможноиспользоватьчисловуюзависимостьотбольшихстепенейиликалькуляторовдляпримерныйответ.$

Таким образом, окончательный ответ по большей диагонали:
$$D\approx 36\text{см}$$

Если будут сомнения в вычислениях или хотите уточнений, не стесняйтесь задавать дополнительные вопросы!