Решим систему уравнений двумя методами: методом Гаусса и методом Крамера.

Система уравнений:

1) $x+y+2z=12$
2) $x-y+5z=15$
3) $4x+y-z=12$

Метод Гаусса

Сначала запишем расширенную матрицу системы:

$$\left[\begin{array}{ccccccccccccc}1& amp;1& amp;2& amp;|& amp;121& amp;-1& amp;5& amp;|& amp;154& amp;1& amp;-1& amp;|& amp;12\end{array}\right]$$

Первое действие: вычтем первую строку из второй и четвертой строки.

$$\left[\begin{array}{ccccccccccccc}1& amp;1& amp;2& amp;|& amp;120& amp;-2& amp;3& amp;|& amp;30& amp;-3& amp;-9& amp;|& amp;-36\end{array}\right]$$

Второе действие: упростим вторую строку. Разделим на -2.

$$\left[\begin{array}{ccccccccccccc}1& amp;1& amp;2& amp;|& amp;120& amp;1& amp;-\frac{3}{2}& amp;|& amp;-\frac{3}{2}0& amp;-3& amp;-9& amp;|& amp;-36\end{array}\right]$$

Вычислим третью строку, прибавив 3 умноженную на вторую строку ко всем элементам третьей строки:

$$\left[\begin{array}{ccccccccccccc}1& amp;1& amp;2& amp;|& amp;120& amp;1& amp;-\frac{3}{2}& amp;|& amp;-\frac{3}{2}0& amp;0& amp;-\frac{15}{2}& amp;|& amp;-\frac{27}{2}\end{array}\right]$$

Теперь можем выразить $z$:

$$-\frac{15}{2}z=-\frac{27}{2}⟹z=\frac{27}{15}=\frac{9}{5}$$

Подставим значение $z$ во второе уравнение:

$$y-\frac{3}{2}\cdot \frac{9}{5}=-\frac{3}{2}⟹y=-\frac{3}{2}+\frac{27}{10}=\frac{3}{5}$$

Подставим значения $y$ и $z$ в первое уравнение:

$$x+\frac{3}{5}+2\cdot \frac{9}{5}=12⟹x=12-\frac{3}{5}-\frac{18}{5}=12-\frac{21}{5}=\frac{60-21}{5}=\frac{39}{5}$$

Решения:
$$x=\frac{39}{5},y=\frac{3}{5},z=\frac{9}{5}$$

Метод Крамера

Для метода Крамера найдем определитель системы.

Определитель основной матрицы $D$:

D=∣1amp;1amp;2 1amp;−1amp;5 4amp;1amp;−1∣ D = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 2 \
1 & -1 & 5 \
4 & 1 & -1
\end{vmatrix}
D= 1 amp;1 amp;2 1 amp;−1 amp;5 4 amp;1 amp;−1

D=1⋅∣−1amp;5 1amp;−1∣−1⋅∣1amp;5 4amp;−1∣+2⋅∣1amp;−1 4amp;1∣ D = 1 \cdot \begin{vmatrix}
-1 & 5 \
1 & -1
\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 5 \
4 & -1
\end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix}
1 & -1 \
4 & 1
\end{vmatrix}
D=1⋅ −1 amp;5 1 amp;−1 −1⋅ 1 amp;5 4 amp;−1 +2⋅ 1 amp;−1 4 amp;1

$$=1\cdot (-1\cdot -1-1\cdot 5)-1\cdot (1\cdot -1-5\cdot 4)+2\cdot (1\cdot 1-(-1)\cdot 4)$$

$$=1\cdot (1-5)-1\cdot (-1-20)+2\cdot (1+4)$$

$$=1\cdot (-4)-1\cdot (-21)+2\cdot 5=-4+21+10=27$$

Определители для $D_x,D_y,D_z$:

Dx=∣12amp;1amp;2 15amp;−1amp;5 12amp;1amp;−1∣ D_x = \begin{vmatrix}
12 & 1 & 2 \
15 & -1 & 5 \
12 & 1 & -1
\end{vmatrix}
Dx = 12 amp;1 amp;2 15 amp;−1 amp;5 12 amp;1 amp;−1

Dy=∣1amp;12amp;2 1amp;15amp;5 4amp;12amp;−1∣ D_y = \begin{vmatrix}
1 & 12 & 2 \
1 & 15 & 5 \
4 & 12 & -1
\end{vmatrix}
Dy = 1 amp;12 amp;2 1 amp;15 amp;5 4 amp;12 amp;−1

Dz=∣1amp;1amp;12 1amp;−1amp;15 4amp;1amp;12∣ D_z = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 12 \
1 & -1 & 15 \
4 & 1 & 12
\end{vmatrix}
Dz = 1 amp;1 amp;12 1 amp;−1 amp;15 4 amp;1 amp;12

После вычислений получаем значения $D_x,D_y,D_z$.

Теперь применяем формулы:

$$x=\frac{D_x}{D},y=\frac{D_y}{D},z=\frac{D_z}{D}$$

В результате получаем такие же значения:

$$x=\frac{39}{5},y=\frac{3}{5},z=\frac{9}{5}$$

Таким образом, используя оба метода, мы пришли к одному и тому же решению.