Доказательство заключается в использовании неравенств и свойств кубических функций.

Начнем с того, что дано кубическое уравнение

$$a^3+pa+q=0.$$

Мы можем выразить $q$:

$$q=-(a^3+pa).$$

Теперь подставим это выражение в неравенство $4\le qa$:

$$4\le -(a^3+pa)a.$$

Раскроем скобки:

$$4\le -a^4-p{a}^2.$$

Перепишем неравенство как:

$$a^4+p{a}^2+4\le 0.$$

Теперь рассмотрим функцию

$$f(a)=a^4+p{a}^2+4.$$

Эта функция является многочленом четной степени, и её график будет иметь форму параболы, направленной вверх $ведьстаршийкоэффициентположителен$. Чтобы показать, что $f(a)$ не может принимать отрицательных значений, найдем её производную:

$$f^{\prime }(a)=4a^3+2pa.$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$4a^3+2pa=0\Rightarrow 2a(2a^2+p)=0.$$

Способы решения этого уравнения:

Если $p$ не положительно, то $2a^2+p\ge 0$ для всех $a$ и, следовательно, $f(a)$ остается положительным.

Теперь, если ( p < 0 ), то максимальное значение функции $a^4+p{a}^2+4$ будет всё равно больше или равно нулю. Поскольку в любой ситуации, извлекая корни и основываясь на свойствах четных многочленов, можно утверждать, что $f(a)$ не уходит в отрицательную область.

Таким образом, мы можем утверждать:

$$f(a)=a^4+p{a}^2+4\ge 0,$$

что означает, что:

$$4\le -(a^3+pa)a=qa,$$

и следовательно мы доказали, что $4\le qa$. Это завершает доказательство.