Рассмотрим выражение, состоящее из n двоек, которые разделены знаками сложения и умножения. Обозначим количество знаков сложения за ( k ), тогда количество знаков умножения будет равно ( n - 1 - k ).

В общем случае значение данного выражения можно записать как:

[
2 + 2 + \ldots + 2 \; (k \; \text{раз}) \; + \; 2 \times 2 \times \ldots \times 2 \; (n - 1 - k \; \text{раз}) = 2k + 2^{(n - 1 - k)}
]

При этом:

( 2k ) — это сумма всех двоек с знаками сложения,( 2^{(n - 1 - k)} ) — это результат умножения всех двоек со знаком умножения.

Итак, общее значение:

[
x = 2k + 2^{(n - 1 - k)}
]

Согласно условию, должно выполняться:

[
2k + 2^{(n - 1 - k)} = 2024
]

Теперь решим это уравнение для ( n ) и ( k ).

Обратите внимание, что ( 2024 ) — четное число. Следовательно, ( 2k ) также четное, что подразумевает, что ( k ) может принимать целые значения от ( 0 ) до ( n - 1 ).

Теперь проанализируем возможности. Упростим уравнение, выразив ( 2k ):

[
2k = 2024 - 2^{(n - 1 - k)}
]
[
k = 1012 - 2^{(n - 2 - k)}
]

Мы знаем, что ( k ) является неотрицательным целым числом, следовательно, ( 2024 - 2^{(n - 1 - k)}) должно быть неотрицательным.

Скажем, количество двоек ( n < 50 ):

Оценим ( 2^{(n - 1 - k)} ):

Если ( n = 49 ):

Максимально ( k = 48 ) и ( 2^{0} = 1 ), тогда:
[
2 \cdot 48 + 1 = 97
]Если ( k = 0 ):
[
0 + 2^{48} \quad (\text{что значительно больше } 2024)
]

Если ( n = 50 ):

Максимально ( k = 49 ):
[
2 \cdot 49 + 1 = 99
]Минимально ( k = 0 ):
[
2^{49} \quad (\text{что значительно больше } 2024)
]

Таким образом, если ( n < 50 ), равенство выполнить невозможно, поскольку при любых значениях ( k) всегда будет либо меньше 2024, либо значительно больше, если использовать знаки сложения и умножения с количеством двоек в пределах 50 или менее.

Следовательно, ответ на вопрос: нет, невозможно выписать менее 50 двоек, чтобы сумма или произведение давали 2024.