Дано, что треугольники ( MNK ) и ( M_1N_1K_1 ) подобны, то соответствующие стороны пропорциональны.

Длиные сторон треугольника ( M_1N_1K_1 ):

( M_1N_1 = 20 \, \text{см} )( M_1K_1 = 45 \, \text{см} )( N_1K_1 = 25 \, \text{см} )

Найдем коэффициент подобия ( k ):

Для нахождения коэффициента подобия ( k ) возьмем, например, сторону ( M_1N_1 ):
[
k = \frac{MN}{M_1N_1} = \frac{MN}{20}
]

Теперь можем выразить остальные стороны через ( k ):
[
MN = k \cdot 20
]
[
MK = k \cdot 45
]
[
NK = k \cdot 25
]

Периметр треугольника ( MNK ):
[
P = MN + MK + NK = k \cdot 20 + k \cdot 45 + k \cdot 25 = k (20 + 45 + 25) = k \cdot 90
]

Найдем ( k ) через площади треугольников. Площадь подобного треугольника меняется как квадрат коэффициента подобия.
[
\frac{S{MNK}}{S{M_1N_1K1}} = k^2
]
[
S{MNK} = 180k^2
]

Площадь ( S_{M_1N_1K_1} = 180 \, \text{см}^2 ), чтобы найти ( MNK ), её можем выразить при известном ( k ). Так как не дано, нам необходима некоторая дополнительная информация для нахождения ( k ), например, площадь, чтобы найти его через данный расчет.

Итак, пока мы не получили значение ( k ), мы можем подставить значение, если оно станет известно. Подведем итог:

Периметр ( P ) треугольника ( MNK ):
[
P = 90k
]
где ( k ) будет найден после получения необходимых значений, а площадь самих треугольника будет равна:
[
S_{MNK} = 180k^2
]