Для решения уравнения ( x^3 - 3x^2 + 2.5 = 0 ) методом хорд и методом касательных, сначала необходимо определить область, в которой будем искать корни. Мы можем исследовать функцию ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2.5 ).

Найдем значение функции в некоторых точках:( f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2.5 = 2.5 ) (положительное)( f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2.5 = 1 - 3 + 2.5 = 0.5 ) (положительное)( f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2.5 = 8 - 12 + 2.5 = -1.5 ) (отрицательное)( f(1.5) = 1.5^3 - 3 \cdot 1.5^2 + 2.5 = 3.375 - 6.75 + 2.5 = -0.875 ) (отрицательное)( f(1.9) = 1.9^3 - 3 \cdot 1.9^2 + 2.5 \approx 6.859 - 10.83 + 2.5 \approx -1.471 ) (отрицательное)( f(2.5) = 2.5^3 - 3 \cdot 2.5^2 + 2.5 = 15.625 - 18.75 + 2.5 = -0.625 ) (отрицательное)( f(2.3) = 2.3^3 - 3 \cdot 2.3^2 + 2.5 \approx 12.167 - 15.87 + 2.5 = -1.203 ) (отрицательное)( f(2.1) = 2.1^3 - 3 \cdot 2.1^2 + 2.5 \approx 9.261 - 13.23 + 2.5 = -1.469 ) (отрицательное)( f(1.8) = 1.8^3 - 3 \cdot 1.8^2 + 2.5 \approx 5.832 - 9.72 + 2.5 = -1.388 ) (отрицательное)( f(1.6) = 1.6^3 - 3 \cdot 1.6^2 + 2.5 \approx 4.096 - 7.68 + 2.5 = -1.084 ) (отрицательное)

Из значений видно, что корень находится между 1 и 2, так как функция меняет знак.

Метод хорд: При использовании метода хорд берем два начальных приближения ( x_0 = 1 ) и ( x_1 = 2 ). Вычисляем новую точку:

[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n) (xn - x{n-1})}{f(xn) - f(x{n-1})}
]

Начнем итерировать:

Для ( x_0 = 1 ), ( x_1 = 2 ):
[
f(1) = 0.5, \quad f(2) = -1.5
]
[
x_2 = 2 - \frac{(-1.5)(2 - 1)}{-1.5 - 0.5} = 2 - \frac{-1.5}{-2} = 2 - 0.75 = 1.25
]

Теперь используем ( x_1 = 2 ) и ( x_2 = 1.25 ):
[
f(1.25) = 1.25^3 - 3 \cdot 1.25^2 + 2.5 = 1.953125 - 4.6875 + 2.5 = -0.234375
]
[
x_3 = 1.25 - \frac{(-0.234375)(1.25 - 2)}{-0.234375 - (-1.5)} \approx 1.25 + 0.089 = 1.339
]

Повторяем, пока разница между корнями не станет менее ( \epsilon ).

Так повторяем, пока не достигнем нужной точности.

С помощью метода касательных рассчитывается так же, но нужно использовать производную функции.

Таким образом, один из подходов — метод хорд — требует последовательного анализа значения функции и подбора начальных точек. Каждое итерационное вычисление приближает результат до достижения желаемой точности ε.

После нескольких итераций будет найден наиболее подходящий корень.

В реальном расчете мы бы продолжали, пока ( |xn - x{n-1}| < 0.0001 ). После выполнения всех итераций в конце будет найден положительный корень уравнения.