Для визуализации и вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией ( f(x) = x^2 + 4 ) и осью ( Ox ), а также вертикальными линиями ( x = -1 ) и ( x = 1 ), начнем с графика функции.

Шаг 1: Построение графика функции

Функция ( f(x) = x^2 + 4 ) — это парабола, открывающаяся вверх, с вершиной в точке ( (0, 4) ).

При ( x = -1, f(-1) = (-1)^2 + 4 = 5 ).При ( x = 1, f(1) = 1^2 + 4 = 5 ).При ( x = 0, f(0) = 0^2 + 4 = 4 ).

Таким образом, пределы по оси ( x ) включают точки ( (-1, 5) ) и ( (1, 5) ).

Шаг 2: Вычисление площади

Площадь криволинейной трапеции можно найти, вычислив определенный интеграл функции между пределами ( x = -1 ) и ( x = 1 ):

[
S = \int{-1}^{1} f(x) \, dx = \int{-1}^{1} (x^2 + 4) \, dx
]

Теперь посчитаем интеграл по частям:

[
S = \int{-1}^{1} (x^2 + 4) \, dx = \int{-1}^{1} x^2 \, dx + \int_{-1}^{1} 4 \, dx
]

Сначала посчитаем ( \int_{-1}^{1} x^2 \, dx ):

[
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}
]

Пределы от (-1) до (1):

[
\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} \right) = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
]

Теперь посчитаем ( \int_{-1}^{1} 4 \, dx ):

[
\int 4 \, dx = 4x
]

Пределы от (-1) до (1):

[
\left[ 4x \right]_{-1}^{1} = 4(1) - 4(-1) = 4 + 4 = 8
]

Шаг 3: Сложение полученных значений

Теперь сложим результаты интегралов:

[
S = \int{-1}^{1} x^2 \, dx + \int{-1}^{1} 4 \, dx = \frac{2}{3} + 8 = \frac{2}{3} + \frac{24}{3} = \frac{26}{3}
]

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданной функцией, составляет:

[
\boxed{\frac{26}{3}}
]