Чтобы доказать, что функция ( F(x) ) является первообразной для функции ( f(x) ), необходимо показать, что производная функции ( F(x) ) равна функции ( f(x) ). То есть, нужно вычислить производную ( F(x) ) и убедиться, что она совпадает с ( f(x) ).

a) Функция:
[
F(x) = 3x^6 + 2x - 12
]

Найдём производную ( F'(x) ):
[
F'(x) = \frac{d}{dx}(3x^6) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(-12)
]
[
F'(x) = 18x^5 + 2 + 0
]
[
F'(x) = 18x^5 + 2
]

Теперь сравним с ( f(x) ):
[
f(x) = 18x^5 + 2
]

В результате получаем, что ( F'(x) = f(x) ). Таким образом, функция ( F(x) ) действительно является первообразной для функции ( f(x) ).

b) Функция:
[
F(x) = x^6 - 2\cos x
]

Найдём производную ( F'(x) ):
[
F'(x) = \frac{d}{dx}(x^6) + \frac{d}{dx}(-2\cos x)
]
[
F'(x) = 6x^5 + 2\sin x
]

Теперь сравним с ( f(x) ):
[
f(x) = 6x^5 + 2\sin x
]

В результате получаем, что ( F'(x) = f(x) ). Таким образом, функция ( F(x) ) также является первообразной для функции ( f(x) ).

Итог: В обоих случаях функции ( F(x) ) являются первообразными для соответствующих функций ( f(x) ), поскольку их производные равны.