Чтобы доказать, что функция ( y = F(x) ) является первообразной для функции ( y = f(x) ), необходимо показать, что производная ( F'(x) ) равна функции ( f(x) ).

Дана функция:
[
F(x) = 3x^6 + 2x - 12
]

Теперь найдем производную этой функции:
[
F'(x) = \frac{d}{dx}(3x^6) + \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(12)
]

Производная ( 3x^6 ) равна ( 18x^5 ),
производная ( 2x ) равна ( 2 ),
а производная постоянной ( 12 ) равна ( 0 ).

Теперь подставим результаты:
[
F'(x) = 18x^5 + 2 - 0 = 18x^5 + 2
]

Теперь сравним полученную производную с функцией ( f(x) ):
[
f(x) = 18x^5 + 2
]

Мы видим, что ( F'(x) = f(x) ).

Таким образом, мы доказали, что функция ( y = F(x) ) является первообразной для функции ( y = f(x) ).