Обозначим длины наклонных прямых ( OA ) и ( OB ) как ( x ) и ( y ) соответственно. Из условия задачи известно, что одна наклонная больше другой на 3 см, то есть:

[ y = x + 3 ]

Также даны длины проекций наклонных прямых на плоскость ( \alpha ):

[ O_c = 4 \, \text{см} ] (проекция первой наклонной)
[ O_b = 10 \, \text{см} ] (проекция второй наклонной)

Теперь можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины наклонных прямых. Соотношение для длины наклонной прямой и ее проекции можно записать так:

Для первой наклонной прямой:

[
x^2 = O_c^2 + h^2
]

Для второй наклонной прямой:

[
y^2 = O_b^2 + h^2
]

где (h) — это высота, соответственно длина перпендикуляра от точки (A) до плоскости.

Подставим данные проекции:

Для первой наклонной прямой:

[
x^2 = 4^2 + h^2 \Rightarrow x^2 = 16 + h^2
]

Для второй наклонной прямой:

[
y^2 = 10^2 + h^2 \Rightarrow y^2 = 100 + h^2
]

Теперь подставим (y = x + 3) в уравнение для второй наклонной:

[
(x + 3)^2 = 100 + h^2
]

Раскроем скобки:

[
x^2 + 6x + 9 = 100 + h^2
]

Теперь подставим (h^2) из уравнения первой наклонной в это уравнение:

[
x^2 + 6x + 9 = 100 + (x^2 - 16)
]

Упрощаем уравнение:

[
x^2 + 6x + 9 = 100 + x^2 - 16
]
[
6x + 9 + 16 = 100
]
[
6x + 25 = 100
]
[
6x = 75
]
[
x = 12.5
]

Теперь найдем длину второй наклонной:

[
y = x + 3 = 12.5 + 3 = 15.5
]

Итак, длины наклонных прямых составляют:

Длина первой наклонной ( OA = 12.5 \, \text{см} )Длина второй наклонной ( OB = 15.5 \, \text{см} )