Пусть у нас есть две параболы, заданные уравнениями:

[
y = a(x - x_1)^2 + y_1
]

и

[
y = a(x - x_2)^2 + y_2
]

где ( a ) — старший коэффициент, а ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ) — вершины парабол. Поскольку параболы касаются третьей параболы в точках ( A(2, 10) ) и ( B(10, 7) ), важно помнить, что в этих точках производные парабол должны быть равны производной третьей параболы, и значения их ( y ) равны.

Обозначим третью параболу как:

[
y = b(x - x_0)^2 + y_0
]

Для точки ( A(2, 10) ):

( y_A = a(2 - x_1)^2 + y_1 = 10 )( y_A = b(2 - x_0)^2 + y_0 = 10 )

Для производной в точке ( A ):

[
\frac{dy}{dx} = 2a(2 - x_1) = 2b(2 - x_0)
]

Для точки ( B(10, 7) ):

( y_B = a(10 - x_1)^2 + y_1 = 7 )( y_B = b(10 - x_0)^2 + y_0 = 7 )

Для производной в точке ( B ):

[
\frac{dy}{dx} = 2a(10 - x_1) = 2b(10 - x_0)
]

Теперь у нас есть несколько уравнений, которые можно решить, чтобы найти значения ( x_1, y_1, x_2, y_2 ), а также ( x_0, y_0 ) и ( a, b ).

Отметим, что у нас также есть точка ( C(x_C, y_C) ), где параболы пересекаются. Сравнивая их уравнения, мы можем найти значение ( x_C ).

Однако, чтобы упростить задачу, заметим, что поскольку касание происходит в двух точках, необходимо найти ( x_C ) через уравнения, которые объединяют координаты и касательные.

Давайте упростим выразив всё через разности. Обозначим:

( y_1 = 10 - a(2 - x_1)^2 )( y_2 = 7 - a(10 - x_1)^2 )

Так как параболы касаются в двух точках, то все условия могут быть сведены к одной переменной, чтобы решить систему уравнений.

Итак, решаем систему уравнений на основе описанного выше, можно приступать следующими шагами:

Подставляем в уравнения для касания.Применяем производные для нахождения точек касания.

В данном примере нахождение ( x_C ) будет требовать дополнительные вычисления.

Фазовый анализ выше позволяет упростить уравнения, и большинство случаев сводится к более прямой проверки и численным либо символическим методам для разрешения ( A ) и ( B ), т.к. их вертикали позволяют строить полное уравнение непосредственно для нахождения пересекающей точки.

Увы, пока не предоставляешь точные величины для построения парабол. Привяжаюсь к схематику уравнений.

Одна из возможных абсцисс ( C ) - это ( x=6 ), но для точного анализа указывайте данные производные и значение ( b ).