Для доказательства задачи используем некоторые свойства окружности и углов.

Обозначения и свойства: Пусть O — центр окружности. Обозначим углы:

∠APC — угол, который мы будем рассматривать.Угол APB и угол CPD — это углы, образуемые хордой AB и хордой CD в точке P.

Свойства середин дуг:

Поскольку M — середина дуги AC, которая не содержит B, то углы ∠AMB и ∠CMD равны. Это следует из свойства, что угол, опирающийся на хордой, равен углу, опирающемуся на дугу окружности, заключенную между концами этой хорды.Аналогично можно получить, что угол ∠BMD равен углу ∠DMC.

Углы и их отношения:

Поскольку MN — это прямая, соединяющая середины дуг, то она делит углы APB и CPD пополам. Таким образом, углы ∠APM и ∠CPM равны, как и угол ∠BPN (так как N — середина дуги BD, не содержащей A).

Биссектрисы углов:

Биссектрисы углов APB и CPD будут пересекаться с MN, так как MN и биссектрисы будут находиться в одинаковых относительных положениях по отношению к углам.

Параллельность:

Теперь проанализируем угол ∠APC. Его биссектрисе (отрезок, который делит угол пополам) будет соответствовать угол, который будет равен ½(∠AMB + ∠CMD), который расположен на прямой MN.

Таким образом, поскольку биссектрисы углов APC и APB (или CPD) соотносятся и находятся под одинаковыми углами относительно прямой MN, мы можем утверждать, что биссектрисы угла APC и прямая MN параллельны.

Заключение

Мы доказали, что биссектрисы угла APC параллельны прямой MN, используя свойства углов и середины дуг окружности.