Для решения данной задачи по геометрии сначала проанализируем условия.

В треугольнике ABC угол B прямой, значит, треугольник ABC — прямоугольный.Длина отрезка BC равна 2.Проекция треугольника на плоскость дает треугольник BCD, где AD = √2.Двугранный угол AVD равен 45 градусов.

Так как в треугольнике ABC угол B прямой, можем воспользоваться соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Часть а)

Определим длину отрезка AB. Обозначим AB = a, а AC = b.

Поскольку угол B прямой, по теореме Пифагора имеем:

$$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2⟹a^2+2^2=b^2⟹a^2+4=b^2.$$

Теперь используем информацию о двугранном угле AVD. В силу того, что угол AVD равен 45 градусов, можем воспользоваться свойствами проекций. Для данного случая треугольник ABD является прямоугольным, и в нем:

$$A{D}^2+B{D}^2=A{B}^2.$$

Так как AD = √2, можем обозначить BD = h $высотаотточкиDнаоснованиеAB$. Двугранный угол 45 градусов указывает, что:

$$\tan (45^{\circ })=1=\frac{h}{AD}.$$

Таким образом:

$$h=AD=\sqrt{2}.$$

Теперь подставим это значение в уравнение для треугольника ABD:

$$(\sqrt{2}{)}^2+B{D}^2=A{B}^2⟹2+h^2=a^2⟹a^2=2+h^2.$$

Часть б)

Для нахождения угла между прямой AC и плоскостью BCD будем использовать формулу $\theta =\arctan \left(\frac{h}{d}\right)$, где h — высота от точки A до плоскости BCD, а d — горизонтальная проекция отрезка AC на плоскость BCD.

Для более точной оценки этого угла необходимо знать координаты точек A и C, а также конкретное положение точки D. В итоге угол между прямой AC и плоскостью мы можем вычислить через ранее найденные значения.

Однако полноценное решение зависит от исходных данных и координат точек, которые не были предоставлены в задаче.

Таким образом, окончательный ответ будет следующим:

а) Найти AB = a; точное значение зависит от дальнейших данных о размещении $D$ и $C$.

б) Угол между AC и плоскостью BCD также требует дополнительной информации о координатах точек.