Чтобы решить неравенство ${\log }_3(2-4x)\le 1$, начнем с перевода логарифма в экспоненциальную форму.

Неравенство ${\log }_3(2-4x)\le 1$ эквивалентно:

$$2-4x\le 3^1$$

Поскольку $3^1=3$, мы получаем:

$$2-4x\le 3$$

Теперь решим это неравенство:

$$-4x\le 3-2$$ $$-4x\le 1$$

Теперь делим обе стороны неравенства на -4, не забывая изменить знак:

$$x\ge -\frac{1}{4}$$

Теперь нужно учесть, что входящий аргумент логарифма, $2-4x$, должен быть больше нуля:

[
2 - 4x > 0
]
[
-4x > -2
]
[
x < \frac{1}{2}
]

Теперь мы имеем два условия:

Соберем их вместе. Решением данного неравенства будет:

[
-\frac{1}{4} \leq x < \frac{1}{2}
]

В ответе укажем границы: $-\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{2}$.

Таким образом, ответ будет:

$$[-\frac{1}{4},\frac{1}{2})$$