Для восстановления квадратичной функции вида ( f(x) = ax^2 + bx + c ) по координатам трёх точек, которые являются его корнями и вершиной, можно использовать информацию о вершине и корнях.

Даны точки:

Корни: ( (2, 0) ) и ( (6, 0) )Вершина: ( (4, 2) )Шаг 1: Найдем параметры ( a ), ( b ) и ( c )

Квадратичная функция с известными корнями может быть представлена в канонической форме:

[
f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)
]

где ( x_1 ) и ( x_2 ) — корни уравнения (в нашем случае 2 и 6):
[
f(x) = a(x - 2)(x - 6)
]

Шаг 2: Найдем ( a ) с использованием вершины

Вершина параболы находится на координате ( \frac{x_1 + x_2}{2} ), что в данном случае равно:

[
x_v = \frac{2 + 6}{2} = 4
]

Координата ( y ) в вершине равна ( 2 ). Обозначим ( f(4) = 2 ):

Подставляем ( x = 4 ) в формулу:

[
f(4) = a(4 - 2)(4 - 6) = a(2)(-2) = -4a
]

Поскольку ( f(4) = 2 ):
[
-4a = 2
]

Решим это уравнение:

[
a = -\frac{1}{2}
]

Шаг 3: Записываем полное уравнение функции

Теперь подставим найденное значение ( a ) обратно в уравнение:

[
f(x) = -\frac{1}{2}(x - 2)(x - 6)
]

Раскроем скобки:

[
= -\frac{1}{2}(x^2 - 8x + 12)
]

[
= -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 6
]

Таким образом, искомая квадратичная функция имеет вид:

[
f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 6
]

Проверка

Подставим ( x = 2 ):
[
f(2) = -\frac{1}{2}(2^2) + 4(2) - 6 = -2 + 8 - 6 = 0
]

Подставим ( x = 6 ):
[
f(6) = -\frac{1}{2}(6^2) + 4(6) - 6 = -18 + 24 - 6 = 0
]

Подставим ( x = 4 ):
[
f(4) = -\frac{1}{2}(4^2) + 4(4) - 6 = -8 + 16 - 6 = 2
]

Все проверки успешны. Таким образом, окончательный вид квадратичной функции:

[
f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 6
]