Для решения задачи начнем с анализа заданных условий и построим нужную схему.

Дано:Две параллельные плоскости (a) и (B).Точка (P) не лежит между плоскостями.Прямые, проходящие через точку (P), пересекают плоскость (a) в точках (A_1) и (A_2).Прямые также пересекают плоскость (B) в точках (B_1) и (B_2).Длина отрезка (A_1A_2 = 6) см.Отношение (PA_1 : A_1B_1 = 3 : 8).Найдем расстояния:

Обозначим (PA_1 = x). Согласно отношению, (A_1B_1 = \frac{8}{3}x).

Сначала найдем длину отрезка (PB_1):
[
PB_1 = PA_1 + A_1B_1 = x + \frac{8}{3}x = x \left(1 + \frac{8}{3}\right) = x \cdot \frac{11}{3}
]

Далее, учитывая, что точки (A_1) и (A_2) на плоскости (a) находятся на одном уровне, и поскольку плоскости (a) и (B) параллельны, то расстояние между точками (B_1) и (B_2) будет таким же, как между (A_1) и (A_2).

Длина отрезка (B_1B_2) равна длине отрезка (A_1A_2):
[
B_1B_2 = A_1A_2 = 6 \, \text{см}.
]

Длина общего отрезка (B_1B_2):

Итак, длина отрезка (B_1B_2) также равна 6 см, т.к. расстояние между двумя параллельными плоскостями остается одинаковым на соответствующих отрезках.

Ответ:

(B_1B_2 = 6 \, \text{см}).

Рисунок:

Справочный рисунок может выглядеть следующим образом:

Нарисуйте две параллельные плоскости (a) и (B).Отметьте точку (P) выше плоскости (B).Проведите прямые из точки (P), пересекающие плоскость (a) в точках (A_1) и (A_2) и плоскость (B) в точках (B_1) и (B_2).Отметьте отрезок (A_1A_2 = 6) см и отрезок (B_1B_2 = 6) см.

Надеюсь, это поможет вам с задачей!