Определим векторы, представляющие стороны треугольника ABC. Пусть координаты точек A, B и C будут следующими:

( B (0, 0) )( A (3\sqrt{2}, 0) ) (так как AB = ( 3\sqrt{2} ))Точку C можно найти, используя угол ABC = 45° и длину BC = 5.

Сначала найдем координаты точки C. Если угол ABC равен 45°, то вектор ( BC ) можно записать в виде:
[
C (x, y)
]
где ( x^2 + y^2 = 5^2 = 25 ) и ( y/x = \tan(45°) = 1 ), из чего следует ( y = x ).

Подставим ( y = x ) в уравнение окружности:
[
x^2 + x^2 = 25 \implies 2x^2 = 25 \implies x^2 = \frac{25}{2} \implies x = \frac{5}{\sqrt{2}} \implies y = \frac{5}{\sqrt{2}}.
]
Таким образом, координаты точки C:
[
C \left(\frac{5}{\sqrt{2}}, \frac{5}{\sqrt{2}}\right).
]

Теперь мы можем найти центры медиан (точки K и L). Они находятся на середине соответствующих сторон:

Средняя точка K на отрезке BC:
[
K = \left(\frac{0 + \frac{5}{\sqrt{2}}}{2}, \frac{0 + \frac{5}{\sqrt{2}}}{2}\right) = \left(\frac{5}{2\sqrt{2}}, \frac{5}{2\sqrt{2}}\right).
]

Средняя точка L на отрезке AB:
[
L = \left(\frac{3\sqrt{2} + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}, 0\right).
]

Теперь находим векторы ( AK ) и ( CL ):

Вектор ( AK ):
[
AK = K - A = \left(\frac{5}{2\sqrt{2}} - 3\sqrt{2}, \frac{5}{2\sqrt{2}} - 0\right) = \left(\frac{5}{2\sqrt{2}} - \frac{6\sqrt{2}}{2}, \frac{5}{2\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{5 - 6 \cdot 2}{2\sqrt{2}}, \frac{5}{2\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{5 - 12}{2\sqrt{2}}, \frac{5}{2\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{-7}{2\sqrt{2}}, \frac{5}{2\sqrt{2}}\right).
]

Вектор ( CL ):
[
CL = L - C = \left(\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{5}{\sqrt{2}}, 0 - \frac{5}{\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{3\sqrt{2} - 5}{2}, -\frac{5}{\sqrt{2}}\right).
]

Для нахождения косинуса угла между векторами ( AK ) и ( CL ) используем формулу:
[
\cos(\theta) = \frac{AK \cdot CL}{|AK| |CL|},
]
где ( AK \cdot CL ) - скалярное произведение, ( |AK| ) и ( |CL| ) - длины векторов.

Сначала найдем скалярное произведение:
[
AK \cdot CL = \left(\frac{-7}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{3\sqrt{2} - 5}{2} + \frac{5}{2\sqrt{2}} \cdot -\frac{5}{\sqrt{2}}\right) = \frac{-7(3\sqrt{2} - 5)}{4} + \frac{-25}{4} = \frac{-21\sqrt{2} + 35 - 25}{4} = \frac{-21\sqrt{2} + 10}{4}.
]

Теперь найдем длины векторов:
[
|AK| = \sqrt{\left(\frac{-7}{2\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{5}{2\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{49}{8} + \frac{25}{8}} = \sqrt{\frac{74}{8}} = \frac{\sqrt{74}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{74}}{4}.
]
[
|CL| = \sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2} - 5}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{(3\sqrt{2} - 5)^2}{4} + \frac{25}{2}} = \sqrt{\frac{(18 - 30\sqrt{2}) + 50}{4}} = \sqrt{\frac{68 - 30\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{68 - 30\sqrt{2}}}{2}.
]

Теперь подставляем полученные значения в формулу для косинуса:
[
\cos(\theta) = \frac{\frac{-21\sqrt{2} + 10}{4}}{\frac{\sqrt{74}}{4} \cdot \frac{\sqrt{68 - 30\sqrt{2}}}{2}} = \frac{-21\sqrt{2} + 10}{\sqrt{74} \cdot \sqrt{68 - 30\sqrt{2}}}.
]

Конечно, это можно упростить, но точное значение будет зависеть от дальнейших численных подстановок. Результат нужно окончательно оценить, чтобы найти угол и ответ на задачу.