Для нахождения площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды, необходимо использовать данные о боковом ребре и угле наклона, чтобы найти все необходимые размеры.

Вычислим высоту пирамиды:
Высота ( h ) пирамиды будет связана с боковым ребром ( a ) и углом наклона ( \alpha ):
[
h = a \cdot \cos(\alpha) = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}
]

Определим радиус описанной окружности (или высоту треугольника). Поскольку основание пирамиды - правильный треугольник, радиус описанной окружности ( R ) (или расстояние от центра основания до вершин) будет связана с длиной стороны основания ( a ) треугольника. Мы знаем, что:
[
a = \text{высота} / \cos(30^\circ) \Rightarrow s = h_t \cdot \sqrt{3},
]
где ( h_t ) - высота правильного треугольника.

Вычислим длину стороны основания ( s ) (основания пирамиды):
( s = a \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} ).

Теперь найдем площадь основания пирамиды:
Площадь ( S{осн} ) правильного треугольника вычисляется как:
[
S{осн} = \frac{s^2 \cdot \sqrt{3}}{4},
]
где ( s = 6\sqrt{3} ).
[
S_{осн} = \frac{(6\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{108 \cdot \sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3} \approx 46.76 \text{ см}^2.
]

Теперь найдем площадь боковых граней пирамиды:
Площадь одной боковой грани (треугольника) составляет:
[
S_{бок} = \frac{1}{2} s l,
]
где ( s = 6\sqrt{3} ) и ( l ) - боковая высота.
Нужно добавить боковые грани, умножив на 3.

Найдем длину бокового ребра (высота наклонного треугольника):
[
h_{бок} = a \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}.
]

Площадь одной боковой грани (равнобедренного треугольника):
[
S_{бок} = 3 \frac{1}{2} 6\sqrt{3} 6\sqrt{3} = 3 \frac{1}{2} 6 12 = 3 * 36 = 108 \text{ см}^2.
]

Полная площадь поверхности пирамиды:
[
S{пол} = S{осн} + S_{бок} = 27\sqrt{3} + 108 \approx 46.76 + 108 = 154.76 \text{ см}^2.
]

Таким образом, площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды составляет примерно ( 154.76 \text{ см}^2 ).