Обозначим первую геометрическую прогрессию как ( a_n ) с первым членом равным 1 и общим множителем ( q_1 ), тогда

[
a_1 = 1, \quad a_2 = q_1, \quad a_5 = q_1^4.
]

Обозначим вторую геометрическую прогрессию как ( b_n ) с первым членом равным 1 и общим множителем ( q_2 ), тогда

[
b_1 = 1, \quad b_2 = q_2, \quad b_5 = q_2^4.
]

Даны условия:

Сумма вторых членов прогрессий:

[
q_1 + q_2 = 3.
]

Сумма пятых членов прогрессий:

[
q_1^4 + q_2^4 = 17.
]

Теперь выразим ( q_2 ) через ( q_1 ):

[
q_2 = 3 - q_1.
]

Подставим это выражение в уравнение для суммы пятого члена:

[
q_1^4 + (3 - q_1)^4 = 17.
]

Раскроем скобки:

[
(3 - q_1)^4 = 81 - 108q_1 + 54q_1^2 - 12q_1^3 + q_1^4.
]

Теперь подставим это в первое уравнение:

[
q_1^4 + 81 - 108q_1 + 54q_1^2 - 12q_1^3 + q_1^4 = 17
]

Соберем все в одну сторону и упростим:

[
2q_1^4 - 12q_1^3 + 54q_1^2 - 108q_1 + 81 - 17 = 0.
]

Упростим:

[
2q_1^4 - 12q_1^3 + 54q_1^2 - 108q_1 + 64 = 0.
]

Разделим уравнение на 2:

[
q_1^4 - 6q_1^3 + 27q_1^2 - 54q_1 + 32 = 0.
]

Теперь решим это уравнение. Можно попробовать подставлять значения:

Проверим, например, ( q_1 = 2 ):

[
2^4 - 6 \cdot 2^3 + 27 \cdot 2^2 - 54 \cdot 2 + 32 = 16 - 48 + 108 - 108 + 32 = 0.
]

Это значит, что ( q_1 = 2 ). Теперь найдем ( q_2 ):

[
q_2 = 3 - q_1 = 3 - 2 = 1.
]

Теперь мы знаем, что ( q_1 = 2 ) и ( q_2 = 1 ). Теперь найдем 11-ые члены прогрессий:

[
a_{11} = q1^{10} = 2^{10} = 1024,
]
[
b{11} = q_2^{10} = 1^{10} = 1.
]

Сумма одиннадцатых членов:

[
a{11} + b{11} = 1024 + 1 = 1025.
]

Ответ:

[
\boxed{1025}.
]