Прежде чем находить координаты векторов, давайте начнем с описания правильного шестиугольника ABCDEF. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы равны 120 градусам. Если мы примем за единичную длину сторону шестиугольника, то у нас будет:

Вектор ( \overrightarrow{AB} ) можно взять за единичный вектор: ( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} ).Вектор ( \overrightarrow{AC} ) будет образовывать угол 60 градусов с вектором ( \overrightarrow{AB} ). Мы можем выразить его в терминах вектора ( \overrightarrow{AB} ):
[
\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.
]

Теперь найдем координаты других векторов:

( \overrightarrow{AB} ): как уже сказано, ( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} ).

( \overrightarrow{BC} ): вектор ( \overrightarrow{BC} ) всегда направлен к вершине C и можно выразить через векторы:
[
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} - 1 \ \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.
]

( \overrightarrow{CD} ): подобно предыдущему шагу, необходимо учитывать угол 120 градусов:
[
\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - \frac{1}{2} \ 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.
]

( \overrightarrow{DE} ): этот вектор будет похож на ( \overrightarrow{BC} ) (он будет противоположен ему):
[
\overrightarrow{DE} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.
]

( \overrightarrow{EF} ): аналогично, это будет направлено к F:
[
\overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}.
]

( \overrightarrow{FA} ): этот вектор направлен обратно к A:
[
\overrightarrow{FA} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ 0 \end{pmatrix}.
]

Теперь подытожим координаты векторов:

( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} )( \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} )( \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} )( \overrightarrow{DE} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} )( \overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} )( \overrightarrow{FA} = \begin{pmatrix} 2 \ 0 \end{pmatrix} )