Векторы ( \mathbf{m} ), ( \mathbf{n} ) и ( \mathbf{p} ) компланарны, если существует такое значение скалярного произведения, которое равняется нулю. В качестве альтернативы, можно использовать определитель, составляя матрицу из координат векторов. Если определитель равен нулю, векторы компланарны.

Давайте перепишем векторы в виде их координат. У нас:

[
\mathbf{m} = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}
]

[
\mathbf{n} = 2\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}
]

[
\mathbf{p} = 8\mathbf{n} - \mathbf{b} + \mathbf{c}
]

Теперь подставим вектор ( \mathbf{n} ) в выражение для вектора ( \mathbf{p} ):

[
\mathbf{p} = 8(2\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}) - \mathbf{b} + \mathbf{c}
]

Раскроем скобки:

[
\mathbf{p} = 16\mathbf{a} - 8\mathbf{b} + 8\mathbf{c} - \mathbf{b} + \mathbf{c}
]

Упростим:

[
\mathbf{p} = 16\mathbf{a} - 9\mathbf{b} + 9\mathbf{c}
]

Теперь у нас есть три вектора:

[
\mathbf{m} = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{c}
]
[
\mathbf{n} = 2\mathbf{a} - \mathbf{b} + \mathbf{c}
]
[
\mathbf{p} = 16\mathbf{a} - 9\mathbf{b} + 9\mathbf{c}
]

Теперь мы можем сложить векторы и проверить, есть ли линейная связь между ними. Мы составим матрицу из коэффициентов векторов ( \mathbf{m} ), ( \mathbf{n} ) и ( \mathbf{p} ):

[
\begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \
2 & -1 & 1 \
16 & -9 & 9
\end{vmatrix}
]

Посчитаем определитель этой матрицы:

[
D = 1 \cdot \begin{vmatrix}
-1 & 1 \
-9 & 9
\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 1 \
16 & 9
\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & -1 \
16 & -9
\end{vmatrix}
]

Вычислив подопределители, мы получим:

[
D = 1((-1) \cdot 9 - 1 \cdot (-9)) - 1((2 \cdot 9) - (1 \cdot 16)) - 1((2 \cdot (-9)) - ((-1) \cdot 16))
]
[
= 1(-9 + 9) - 1(18 - 16) - 1(-18 + 16)
]
[
= 0 - 2 + 2 = 0
]

Так как определитель равен нулю (( D = 0 )), векторы ( \mathbf{m} ), ( \mathbf{n} ) и ( \mathbf{p} ) компланарны. Это и было нужно доказать.