Чтобы векторы ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) были коллинеарны, необходимо, чтобы ( \mathbf{m} = k \mathbf{n} ) для некоторого числа ( k ). Векторное уравнение имеет вид:

[
\mathbf{m} = p\mathbf{a} + q\mathbf{b} + 8\mathbf{c}
]
[
\mathbf{n} = \mathbf{a} + p\mathbf{b} + q\mathbf{c}
]

Сравнивая эти два вектора, мы можем записать:

[
p\mathbf{a} + q\mathbf{b} + 8\mathbf{c} = k(\mathbf{a} + p\mathbf{b} + q\mathbf{c})
]

Раскроем скобки:

[
p\mathbf{a} + q\mathbf{b} + 8\mathbf{c} = k\mathbf{a} + kp\mathbf{b} + kq\mathbf{c}
]

Теперь приравняем коэффициенты:

Для ( \mathbf{a} ):
[
p = k
]

Для ( \mathbf{b} ):
[
q = kp
]

Для ( \mathbf{c} ):
[
8 = kq
]

Теперь у нас есть три уравнения:

( p = k )( q = kp )( 8 = kq )

Подставим ( p = k ) во второе уравнение:

[
q = k^2
]

Теперь подставим ( q = k^2 ) в третье уравнение:

[
8 = k(k^2) = k^3
]

Решим уравнение ( k^3 - 8 = 0 ):

[
k^3 = 8 \implies k = 2
]

Теперь подставим значение ( k ) обратно, чтобы найти ( p ) и ( q ):

( p = k = 2 )( q = k^2 = 2^2 = 4 )

Таким образом, найденные значения:

[
p = 2, \quad q = 4
]