Для решения задачи воспользуемся векторностью и свойствами тетраэдра. Обозначим векторы, соответствующие вершинам тетраэдра DABC:

(\mathbf{D} = \mathbf{d})(\mathbf{A} = \mathbf{a})(\mathbf{B} = \mathbf{b})(\mathbf{C} = \mathbf{c})

Сначала найдем координаты средних точек M и N:

Середина ребра DA:
[
\mathbf{M} = \frac{\mathbf{D} + \mathbf{A}}{2} = \frac{\mathbf{d} + \mathbf{a}}{2}
]

Середина ребра DC:
[
\mathbf{N} = \frac{\mathbf{D} + \mathbf{C}}{2} = \frac{\mathbf{d} + \mathbf{c}}{2}
]

Теперь переходим к задачам.

a) Разложение вектора (\mathbf{NA}) по векторам (\mathbf{BA}), (\mathbf{BD}), (\mathbf{BC})

Вектор (\mathbf{NA}) можно записать так:
[
\mathbf{NA} = \mathbf{A} - \mathbf{N} = \mathbf{A} - \frac{\mathbf{D} + \mathbf{C}}{2} = \mathbf{A} - \frac{\mathbf{d} + \mathbf{c}}{2}
]

Распишем векторы (\mathbf{BA}), (\mathbf{BD}), (\mathbf{BC}):
[
\mathbf{BA} = \mathbf{A} - \mathbf{B} = \mathbf{a} - \mathbf{b}
]
[
\mathbf{BD} = \mathbf{D} - \mathbf{B} = \mathbf{d} - \mathbf{b}
]
[
\mathbf{BC} = \mathbf{C} - \mathbf{B} = \mathbf{c} - \mathbf{b}
]

Теперь выразим вектор (\mathbf{NA}) через линейную комбинацию векторов (\mathbf{BA}), (\mathbf{BD}) и (\mathbf{BC}). Для этого найдем соответствующие коэффициенты (x, y, z):
[
\mathbf{NA} = x \cdot \mathbf{BA} + y \cdot \mathbf{BD} + z \cdot \mathbf{BC}
]

После подстановки:
[
\mathbf{A} - \frac{\mathbf{D} + \mathbf{C}}{2} = x (\mathbf{A} - \mathbf{B}) + y (\mathbf{D} - \mathbf{B}) + z (\mathbf{C} - \mathbf{B})
]

Открываем скобки и приравниваем коэффициенты.

b) Разложение вектора (\mathbf{BC}) по векторам (\mathbf{DM}), (\mathbf{DN}) и (\mathbf{DB})

Вектор (\mathbf{BC}) можно записать так:
[
\mathbf{BC} = \mathbf{C} - \mathbf{B} = \mathbf{c} - \mathbf{b}
]

Запишем векторы:
[
\mathbf{DM} = \mathbf{M} - \mathbf{D} = \frac{\mathbf{A} + \mathbf{D}}{2} - \mathbf{D} = \frac{\mathbf{A} - \mathbf{D}}{2}
]
[
\mathbf{DN} = \mathbf{N} - \mathbf{D} = \frac{\mathbf{C} + \mathbf{D}}{2} - \mathbf{D} = \frac{\mathbf{C} - \mathbf{D}}{2}
]
[
\mathbf{DB} = \mathbf{B} - \mathbf{D} = \mathbf{b} - \mathbf{d}
]

Затем нужно выразить (\mathbf{BC}) через линейную комбинацию (\mathbf{DM}), (\mathbf{DN}) и (\mathbf{DB}):
[
\mathbf{BC} = p \cdot \mathbf{DM} + q \cdot \mathbf{DN} + r \cdot \mathbf{DB}
]

После подстановки и приравнивания коэффициентов, мы можем найти нужные (p), (q), и (r).

При решении этих систем уравнений следует обратить внимание на точность, чтобы получить правильные коэффициенты в обеих частях задачи.