Для нахождения площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, давайте сначала обозначим некоторые параметры.

Обозначим:

(S) — площадь основания пирамиды, равная (S) кв. ед.(a) — длина стороны основания (квадрат).(h) — высота пирамиды.(H) — высота треугольника (боковой стороны) от основания до вершины.

Поскольку основание пирамиды является квадратом, оно будет скорее всего иметь площадь (S = a^2). Следовательно, сторона (a) будет равна:

[
a = \sqrt{S}
]

Теперь рассмотрим диагональное сечение пирамиды, которое проходит через вершину и две противолежащие вершины основания. Это сечение образует треугольник, в котором высота также будет равна длине отрезка от вершины пирамиды до середины основания.

Диагональ квадрата основания равна:

[
d = a \sqrt{2} = \sqrt{S} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2S}
]

Площадь диагонального сечения (треугольника) можно рассчитать, если знаем основание и высоту. Основание треугольника (D) в этом сечении будет равной диагонали основания, то есть:

[
D = \sqrt{2S}
]

Если обозначить нужную высоту треугольника как (H), то площадь диагонального сечения:

[
\text{Площадь треугольника} = \frac{1}{2} \times D \times H = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2S} \cdot H
]

Однако нам известна площадь диагонального сечения, которая равна (S) кв. ед., соответственно:

[
\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2S} \cdot H = S
]

Решим это уравнение относительно высоты (H):

[
H = \frac{2S}{\sqrt{2S}} = \frac{2\sqrt{S}}{\sqrt{2}} = \sqrt{S} \cdot \sqrt{2}
]

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности (A_{б}) правильной четырехугольной пирамиды равна:

[
A_{б} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot L
]

где (P) — периметр основания, а (L) — наклонная высота.

Периметр (P) квадрата (основания):

[
P = 4a = 4\sqrt{S}
]

Теперь нам нужно найти наклонную высоту (L). Она равна:

[
L = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}
]

где (\frac{a}{2} = \frac{\sqrt{S}}{2}), подставляем:

[
L = \sqrt{(\sqrt{2S})^2 + \left(\frac{\sqrt{S}}{2}\right)^2} = \sqrt{2S + \frac{S}{4}} = \sqrt{\frac{8S}{4} + \frac{S}{4}} = \sqrt{\frac{9S}{4}} = \frac{3\sqrt{S}}{2}
]

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:

[
A{б} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot L = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{S} \cdot \frac{3\sqrt{S}}{2}
]
[
A{б} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{3}{2} \cdot S = \frac{12S}{4} = 3S
]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна (3S) квадратных единиц.