Чтобы исследовать функцию ( y = \frac{3x^2}{4x + 3} ), начнем с ее анализа:

Область определения:
Область определения функции ( y ) включает все значения ( x ), при которых знаменатель не равен нулю. То есть, решим уравнение ( 4x + 3 \neq 0 ):
[
4x \neq -3 \quad \Rightarrow \quad x \neq -\frac{3}{4}.
]
Таким образом, функция определена для всех ( x \in \mathbb{R} ) за исключением ( x = -\frac{3}{4} ).

Проверка на наличие асимптот:

Вертикальная асимптота: она есть в точке ( x = -\frac{3}{4} ).Горизонтальная асимптота: для анализа горизонтальных асимптот следует рассмотреть предел функции при ( x \to \infty ) и ( x \to -\infty ):
[
\lim{x \to \infty} \frac{3x^2}{4x + 3} = \lim{x \to \infty} \frac{3x^2}{4x} = \lim{x \to \infty} \frac{3x}{4} \to \infty,
]
[
\lim{x \to -\infty} \frac{3x^2}{4x + 3} = \lim{x \to -\infty} \frac{3x^2}{4x} = \lim{x \to -\infty} \frac{3x}{4} \to -\infty.
]
Таким образом, у функции нет горизонтальных асимптот.

Нахождение производной:
Для нахождения критических точек, найдем производную функции ( y ):
[
y' = \frac{(4x + 3) \cdot (6x) - 3x^2 \cdot (4)}{(4x + 3)^2}.
]
Упрощая получим:
[
y' = \frac{24x^2 + 18x - 12x^2}{(4x + 3)^2} = \frac{12x^2 + 18x}{(4x + 3)^2}.
]

Критические точки:
Приравняем числитель к нулю:
[
12x^2 + 18x = 0 \quad \Rightarrow \quad 6x(2x + 3) = 0.
]
Критические точки: ( x = 0 ) и ( x = -\frac{3}{2} ).

Анализ знаков производной:

Для ( x < -\frac{3}{2} ): ( y' > 0 ) (возрастает).Для ( -\frac{3}{2} < x < 0 ): ( y' < 0 ) (убывает).Для ( x > 0 ): ( y' > 0 ) (возрастает).

Таким образом, мы можем заключить, что:

В точке ( x = -\frac{3}{2} ) — максимум.В точке ( x = 0 ) — минимум.

Нахождение значений функции в критических точках:
[
y(0) = \frac{3 \cdot 0^2}{4 \cdot 0 + 3} = 0,
]
[
y\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3 \left(-\frac{3}{2}\right)^2}{4 \left(-\frac{3}{2}\right) + 3} = \frac{3 \cdot \frac{9}{4}}{-6 + 3} = \frac{\frac{27}{4}}{-3} = -\frac{9}{4}.
]

График функции:
Теперь, имея все необходимые данные, можем построить график функции.

График функции будет иметь вертикальную асимптоту в точке ( x = -\frac{3}{4} ), максимум в точке ( x = -\frac{3}{2}, y = -\frac{9}{4} ) и минимум в точке ( x = 0, y = 0 ).

Для построения графика вы можете использовать программное обеспечение или графический калькулятор, чтобы нарисовать функцию, акцентируя внимание на описанных выше ключевых моментах.