Давайте найдем производные для каждого из заданных функций.

а) ( f(x) = 3x^2 - e^{2x} + \sqrt{x} )Производная ( 3x^2 ) равна ( 6x ).Производная ( -e^{2x} ) по правилу цепочки:
[
\frac{d}{dx}(-e^{2x}) = -e^{2x} \cdot 2 = -2e^{2x}.
]Производная ( \sqrt{x} = x^{1/2} ) равна:
[
\frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}.
]

Теперь складываем результаты:
[
f'(x) = 6x - 2e^{2x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}.
]

б) ( y = \frac{\ln(x^2)}{e^x} )

Здесь используем правило дифференцирования частного:
[
\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2},
]
где ( u = \ln(x^2) ) и ( v = e^x ).

Найдем производную ( u ):

( u = \ln(x^2) = 2\ln(x) )( u' = \frac{2}{x} ).

Найдем производную ( v ):

( v' = e^x ).

Теперь подставляем в формулу:
[
y' = \frac{\frac{2}{x} e^x - \ln(x^2) e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x \left( \frac{2}{x} - \ln(x^2) \right)}{e^{2x}} = \frac{2 - x \ln(x^2)}{x e^x}.
]

в) ( y = \ln(2x^4 - 5x + 2) )

Используем правило цепочки. Если ( u = 2x^4 - 5x + 2 ), то:
[
y = \ln(u).
]
Тогда производная:
[
y' = \frac{1}{u} \cdot u'.
]

Теперь найдем ( u' ):

Производная ( 2x^4 ) равна ( 8x^3 ).Производная ( -5x ) равна ( -5 ).Производная ( 2 ) равна ( 0 ).

Таким образом,
[
u' = 8x^3 - 5.
]

Теперь подставляем в формулу:
[
y' = \frac{1}{2x^4 - 5x + 2} \cdot (8x^3 - 5).
]

Теперь мы имеем производные всех функций:

Ответы:

а) ( f'(x) = 6x - 2e^{2x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} )
б) ( y' = \frac{2 - x \ln(x^2)}{x e^x} )
в) ( y' = \frac{8x^3 - 5}{2x^4 - 5x + 2} )