Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

У нас есть две параллельные плоскости (\alpha) и (\beta). Прямые (a) и (b) пересекают плоскости в точках (A_1), (B_1) и (A_2), (B_2) соответственно.

Из условия известно:

Отношение (MA_1: A_1B_1 = 2:3).Длина отрезка (A_1A_2 = 8 \, \text{см}).

Сначала мы найдем длину отрезка (A_1B_1). Пусть длина отрезка (MA_1 = 2x), тогда длина отрезка (A_1B_1 = 3x).

В соответствии с нашими соотношениями:
[
MA_1 + A_1B_1 = 2x + 3x = 5x.
]
Теперь рассмотрим отрезок (A_1A_2). Мы знаем, что он равен (8 \, \text{см}). Также обратим внимание, что прямая (b) может быть представлена как параллельная прямая к (a), так что (A_1A_2) перпендикулярен обеим плоскостям.

Теперь используя соответствие для точки (A_1) и (A_2), можно предположить, что длины отрезков (A_1B_1) и (A_2B_2) будут пропорциональны.

Сначала, отрезок (A_1A_2 = 8 \, \text{см}) равен длине отрезка между эквивалентными точками на параллельных плоскостях. Линейные отношения сохранились.

Мы имеем:

(MA_1) = (2x),(A_1B_1) = (3x),(MA_1 + A_1B_1 = 5x),(A_1A_2 = 8 \, \text{см}).

Для находления длины отрезка (B_1B_2) необходимо установить его длину по найденной предыдущей пропорции. Дистância между точками на параллельных плоскостях прямо пропорциональна смещениям по вертикали. Поэтому (A_1B_1) и (A_2B_2) должны быть равными, так как они находятся на одной прямой.

Исходя из условия, длина отрезка (B_1B_2) будет равняться:
[
B_1B_2 = \frac{A_1B_1}{A_1A_2} \cdot A_1A_2
]

Таким образом мы можем сказать, что (B_1B_2 = B_1A_1 + A_1A_2). Поэтому, нужно найти (A_1B_1):

Длина (A_1B_1) может быть найдена как:
[
A_1B_1 = \frac{3}{5}A_1A_2.
]
Подставляя (A_1A_2 = 8):
[
A_1B_1 = \frac{3}{5} \cdot 8 = 4.8 \, \text{см}.
]
Добавляя длины отрезков, можем найти длину (B_1B_2 = A_1B_1 + A_1A_2 + A_2B_2).

Полная длина будет:
[
B_1B_2 = 4.8 + 8 + 4.8 = 20 \, \text{см}.
]

Таким образом, длина отрезка (B_1B_2) равна (20 \, \text{см}).