В равнобедренном треугольнике MNK, где MN — основание, давайте введем обозначения для углов: пусть угол (\angle MNK = \alpha).

Так как треугольник MNK равнобедренный, угол (\angle KNM) также равен (\alpha). Угол при вершине K равен (180^\circ - 2\alpha).

Так как MP — биссектрисы, то она делит угол (\angle KNM) пополам, то есть:

[
\angle MPN = \frac{1}{2} \angle KNM = \frac{1}{2} (180^\circ - 2\alpha) = 90^\circ - \alpha
]

Аналогично, биссектрисы KL делит угол (\angle MNK) пополам:

[
\angle KLN = \frac{1}{2} \angle MNK = \frac{1}{2} \alpha
]

Теперь воспользуемся формулой для длины биссектрисы. Для биссектрисы MP, и KL можно записать:

[
MP = \frac{2MN \cdot MK}{MN + MK} \cdot \cos\left(\frac{\angle KNM}{2}\right)
]
[
KL = \frac{2MN \cdot NK}{MN + NK} \cdot \cos\left(\frac{\angle MNK}{2}\right)
]

Поскольку MN = NK = a (в равнобедренном треугольнике), тогда получаем:

[
MP = \frac{2a \cdot a}{a + a} \cdot \cos(90^\circ - \alpha) = a \cdot \sin(\alpha)
]
[
KL = \frac{2a \cdot a}{a + a} \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = a \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)
]

С учетом условия задачи, (MP = 2KL):

[
a \cdot \sin(\alpha) = 2 \cdot (a \cdot \cos(\frac{\alpha}{2}))
]

Сократив на (a) (при условии, что a ≠ 0), получаем:

[
\sin(\alpha) = 2 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)
]

Используя связь между синусом и косинусом, можно воспользоваться формулой:

[
\sin(\alpha) = 2\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2 \cdot \sqrt{1 - \sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
]

Таким образом, резюмируя, чтобы решить уравнение, потребуется больше данных о значении угла (\alpha) или провести дополнительные преобразования.

С помощью тригонометрических уравнений можно продолжить искать (\alpha) более точно с использованием тригонометрических тождеств.

Альтернативно, можно рассмотреть дополнительные геометрические отношения или использовать численный или графический методы для нахождения угла.

Таким образом, вы можете определить угол MNK через различные методы или, если есть дополнительная информация для нахождения значения (\alpha).