Чтобы решить интеграл

$${\int }_0^1(5x^4-4x^3)dx,$$

начнем с нахождения первообразной функции для подынтегрального выражения $5x^4-4x^3$.

Первообразная для $5x^4$ будет $\frac{5}{5}{x}^5=x^5$,
а первообразная для $-4x^3$ будет $-\frac{4}{4}{x}^4=-x^4$.

Таким образом, интеграл можно записать:

$$\int (5x^4-4x^3)dx=x^5-x^4+C,$$

где $C$ — константа интегрирования.

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 1:

$${\left[x^5-x^4\right]}_0^1=(1^5-1^4)-(0^5-0^4).$$

Вычислим значение:

$$1-1-(0-0)=1-1=0.$$

Таким образом, значение интеграла равно:

$${\int }_0^1(5x^4-4x^3)dx=0.$$