Для решения неравенства (\tan(x) \geq 1) сначала найдем его график и значения, при которых это неравенство выполняется.

Шаг 1: Определим основное решение неравенства

Решение уравнения (\tan(x) = 1) происходит, когда (x) принимает значения:

[
x = \frac{\pi}{4} + k\pi,
]

где (k) — целое число (так как тангенс имеет период (\pi)).

Шаг 2: Понимание поведения функции тангенса

Функция (\tan(x)) возрастает на интервале ((- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})) и периодически повторяется с периодом (\pi). Она принимает значение 1 в точках (\frac{\pi}{4}), (\frac{5\pi}{4}), (\frac{9\pi}{4}) и так далее.

Шаг 3: Определение интервалов, где (\tan(x) \geq 1)

Теперь проведем анализ:

На интервале ((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})) через точку (\frac{\pi}{4}) функция тангенса нарастает от (-\infty) до (+\infty), и:

(\tan(x) < 1) для (x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right)).(\tan(x) = 1) при (x = \frac{\pi}{4}).(\tan(x) > 1) для (x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)).

На каждом следующем периоде у нас будет аналогичная ситуация:

(\tan(x) < 1) до точки (\frac{\pi}{4} + k\pi),(\tan(x) = 1) в точке (\frac{\pi}{4} + k\pi),(\tan(x) > 1) после этой точки и до (\frac{\pi}{2} + k\pi).Шаг 4: Запись общего решения

Таким образом, неравенство (\tan(x) \geq 1) выполняется на следующих интервалах:

[
x \in \left[ \frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right),
]

где (k) — любое целое число.

Шаг 5: Графическое представление

На графике функции (\tan(x)) можно отметить, что:

Пунктирная линия на уровне (y=1) будет пересекаться с графиком тангенса в точках (\frac{\pi}{4} + k\pi).Диапазон выше этой линии, который соответствует (\tan(x) \geq 1), будет находиться между этими пересечениями и подходить к вертикальным асимптотам тангенса.Заключение

Общее решение неравенства (\tan(x) \geq 1):

[
x \in \left[ \frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}.
]

Этот подход позволяет полноценно проанализировать неравенство и описать его с помощью интервалов.