Для решения неравенства (\cot x < \sqrt{3}) с использованием тригонометрического круга, начнем с того, что (\cot x) — это отношение косинуса к синусу, то есть (\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}). Неравенство (\cot x < \sqrt{3}) можно переписать как:

[
\frac{\cos x}{\sin x} < \sqrt{3}
]

Умножив обе стороны неравенства на (\sin x) (что требует учета знака (\sin x)), получаем:

[
\cos x < \sqrt{3} \sin x
]

Это неравенство выражает отношение между (\cos x) и (\sin x). Решим его с использованием тригонометрического круга.

Найдите углы, где (\cot x = \sqrt{3}):
Наша задача упрощается, если найдем такие углы (x), где это равенство выполняется. Зная, что (\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}), получаем, что:

[
x = \frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]

Определите интервал: Мы ищем области, где (\cot x < \sqrt{3}). Поскольку (\cot x) убывает на интервале ((0, \pi)), мы можем анализировать только этот интервал и далее определить все соответствующие решения.

Определим участки:

На интервале ((0, \pi)) (\cot x) принимает значения от (\infty) до (-\infty).Чтобы найти, где (\cot x < \sqrt{3}), посмотрим на разделение по углу (\frac{\pi}{6}):
Для (0 < x < \frac{\pi}{6}) — (\cot x > \sqrt{3}).Для (\frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}) — (\cot x < \sqrt{3}). Для (\frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{6})— (\cot x < \sqrt{3}).Для (\frac{5\pi}{6} < x < \pi) — (\cot x > \sqrt{3}).

Соберите все решения:

На интервале (0 < x < \frac{\pi}{6}) и (\frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{6}).

Распространите решение на все действительные числа: Учитывая периодичность функции (\cot x) с периодом (\pi), можем записать общее решение:

[
x \in \left( \frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{5\pi}{6} + k\pi \right), \quad k \in \mathbb{Z}
]

Это и есть решение неравенства (\cot x < \sqrt{3}) с использованием тригонометрического круга.