Чтобы доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, начнем с того, что обозначим углы треугольника ABC как:

∠A = a∠B = b∠C = c

Согласно свойству треугольника, сумма углов в нем равна 180 градусам:

[
a + b + c = 180^\circ
]

По условию задачи, внешний угол при вершине C равен сумме углов A и B. Внешний угол при вершине C можно выразить через внутренний угол следующим образом:

[
c_{внешний} = a + b
]

Но также мы знаем, что внешний угол равен 180° минус внутренний угол:

[
c_{внешний} = 180^\circ - c
]

Таким образом, у нас есть два выражения для внешнего угла при вершине C:

[
a + b = 180^\circ - c
]

Теперь подставим в это уравнение значение c через a и b:

[
a + b = 180^\circ - (180^\circ - a - b) \quad \text{(из суммы углов треугольника)}
]
[
c = 180^\circ - a - b
]

Подставим это значение c в первое уравнение:

[
a + b = 180^\circ - (180^\circ - a - b)
]
[
a + b = a + b
]

Теперь мы видим, что у нас получается тождество, следовательно, мы можем перейти к следующим шагам:

Если обозначить равенство внешнего угла, то имеем:

[
(a + b) + c = 180^\circ
]

Сравния можно привести к более простому виду, выразив угол C:

[
c = 180^\circ - (a + b)
]

Теперь, если углы A и B равны, например ( a = b ), то равнобедренный треугольник означает, что два угла равны. Итак, покажем это:

[
c = 180^\circ - 2a
]

В данном случае:

Если ( a = b ), то ( c = 180^\circ - 2a ).

Таким образом, фактически, у нас есть равенство между углами A и B, что и соответствует определению равнобедренного треугольника.

Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным, так как два его угла равны.