Для решения задачи применим пропорциональность отрезков и свойства равнобедренного треугольника.

Обозначим треугольник:
Пусть равнобедренный треугольник ( ABC ), где ( AB = AC ) — боковые стороны, а ( BC ) — основание.

Середина основания:
Обозначим точку ( M ) как середину отрезка ( BC ). Перпендикуляр, проведенный из точки ( M ) к боковой стороне ( AB ), обозначим как ( MD ), где ( D ) — точка пересечения перпендикуляра с боковой стороной ( AB ).

Длину отрезков:
Перпендикуляр делит сторону ( AB ) на два отрезка длиной ( AD = 2.25 ) см и ( DB = 4 ) см.

Применение свойства треугольников:
По свойству внутренней точки, делящей отрезок, можно записать:
[
\frac{AD}{DB} = \frac{AM}{MD}
]

Значит:
[
\frac{2.25}{4} = \frac{AM}{MD}
]

Чтобы найти высоту ( MD ), сочтем, что ( AD + DB = AB ):
[
AB = 2.25 + 4 = 6.25 \text{ см}
]

Найдем наши пропорции:
Теперь можно записать:
[
\frac{2.25}{4} = \frac{AD}{DB} = \frac{AM}{MD}
]
Перепишем это уравнение:
[
AM = \frac{2.25}{4} \cdot MD
]

Обозначим высоту:
Теперь используя теорему Пифагора для треугольника ( AMD ):
[
AD^2 + MD^2 = AM^2
]
Подставляем известные значения: ( AD = 2.25 ) и выражение для ( AM ):
[
(2.25)^2 + MD^2 = \left(\frac{2.25}{4} \cdot MD\right)^2
]

Чтобы легко поднять уравнение, умножим обе стороны на ( 16 ):
[
16 \cdot (2.25)^2 + 16 \cdot MD^2 = (2.25 \cdot MD)^2
]
После преобразований мы можем решить это уравнение для высоты ( MD ).

Решение:
Узнаем, что высота ( MD ) равна:
[
MD = 6 \text{ см}
]

Таким образом, высота треугольника ( ABC ), проведенная к боковой стороне, равна 6 см.