Чтобы минимизировать затраты на строительные материалы для наружных стен здания, нужно минимизировать его поверхность. Для этого используем квадратную форму, поскольку она имеет наименьшую площадь поверхности при заданном объёме.

Давайте рассмотрим прямоугольное здание с длиной $l$ и шириной $w$. Площадь здания $S$ равна 180 кв. м, то есть:

$$l\cdot w=180$$

Мы хотим минимизировать площадь наружных стен, которая равна:

$$P=2(l+w)\cdot h$$

где $h$ — высота здания. Для одноэтажного здания можно принять $h$ за фиксированное значение, без потери общности. То есть достаточно минимизировать сумму $l+w$.

Решим уравнение $w=\frac{180}{l}$ и подставим его в выражение для $P$:

$$P=2\left(l+\frac{180}{l}\right)\cdot h$$

Теперь минимизируем функцию:

$$f(l)=l+\frac{180}{l}$$

Для нахождения минимума найдём производную и приравняем её к нулю:

$$f^{\prime }(l)=1-\frac{180}{l^2}$$

Приравниваем производную к нулю:

$$1-\frac{180}{l^2}=0$$

Отсюда:

$$\frac{180}{l^2}=1⟹l^2=180⟹l=\sqrt{180}\approx 13.42\text{м}$$

Теперь находим ширину:

$$w=\frac{180}{l}=\frac{180}{\sqrt{180}}=\sqrt{180}\approx 13.42\text{м}$$

Таким образом, оптимальные размеры здания для минимизации затрат на наружные стены приблизительно составляют:

$$l\approx 13.42\text{м},w\approx 13.42\text{м}$$

Так как здание строится из железобетонных блоков длиной 3 м, нужно убедиться, что размеры здания можно выразить через целые числа, кратные 3. Ближайшие размеры, которые подойдут, — это 12 м на 15 м $или15мна12м$:

12 м × 15 м = 180 кв. м.Общая длина наружных стен: 2$12+15$ = 54 м.

Таким образом, подходящий вариант для размеров здания — 12 м на 15 м или 15 м на 12 м.