Для нахождения площади прямоугольной трапеции, где основания равны $a=5$ и $b=13$, а угол между боковой стороной и меньшим основанием равен $135^{\circ }$, нужно сначала найти высоту трапеции.

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, а другая образует угол $135^{\circ }$ с меньшим основанием. Угол $135^{\circ }$ является внешним углом к прямому углу, таким образом угол между боковой стороной и высотой будет равно $180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$.

Обозначим высоту $h$ трапеции. Изображая боковую сторону, которую мы знаем, что она составляет угол $45^{\circ }$ с высотой, можем использовать отношение:

$$h=b-a=13-5=8$$

От высоты откладываем отрезок вниз, и, используя тригонометрию, можем найти высоту:

$$h=x\cdot \sin (45^{\circ }),x=\frac{h}{\cos (45^{\circ })}$$

Мы также знаем, что:

$$\tan (45^{\circ })=1$$

Теперь мы можем найти высоту:

$$h=x\cdot \sin (45^{\circ })\Rightarrow h=x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Зная, что:

$$h=8÷\sqrt{2}$$

Теперь воспользуемся формулой для площади $S$ трапеции:

$$S=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$

Подставляя известные значения:

$$S=\frac{(5+13)\cdot h}{2}=\frac{18\cdot 8}{2}=\frac{144}{2}=72$$

Таким образом, площадь трапеции равна $72$ квадратных единиц.