Обозначим скорость лодки в стоячей воде как ( v ) км/ч.

Скорость лодки по течению реки будет равна ( v + 1 ) км/ч, а против течения — ( v - 1 ) км/ч (поскольку скорость течения равна 1 км/ч).

Согласно условию, лодка проплыла одно и то же расстояние по течению за 4 часа и против течения за 5 часов, что можно записать как:

[
S = (v + 1) \times 4 = (v - 1) \times 5
]

Упрощаем уравнение:

[
4v + 4 = 5v - 5
]

Переносим все ( v ) в одну сторону и числа в другую:

[
5v - 4v = 4 + 5
]

[
v = 9 \text{ км/ч}
]

Теперь подставим значение скорости лодки, чтобы найти длину пути. По течению лодка проплыла:

[
S = (v + 1) \times 4 = (9 + 1) \times 4 = 10 \times 4 = 40 \text{ км}
]

Итак, у нас есть ответы:

Скорость лодки в стоячей воде равна ( 9 ) км/ч.Длина пути, который проплыла лодка по течению реки, равна ( 40 ) км.Обозначим скорость катера по озеру как ( v ) км/ч.

Скорость катера против течения равна ( v - 5 ) км/ч, а скорость по течению — ( v + 5 ) км/ч.

Катер проплыл 75 км против течения и затем вернулся, потратив на это в сумме 8 часов. Давайте запишем время в пути для каждой части:

Время против течения:

[
t_1 = \frac{75}{v - 5}
]

Время по течению:

[
t_2 = \frac{75}{v + 5}
]

Суммируем времена:

[
\frac{75}{v - 5} + \frac{75}{v + 5} = 8
]

Умножаем уравнение на ( (v - 5)(v + 5) ), чтобы избавиться от дробей:

[
75(v + 5) + 75(v - 5) = 8(v^2 - 25)
]

Упрощаем:

[
75v + 375 + 75v - 375 = 8v^2 - 200
]

[
150v = 8v^2 - 200
]

Переносим все в одну сторону:

[
8v^2 - 150v - 200 = 0
]

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:

[
D = b^2 - 4ac = (-150)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-200) = 22500 + 6400 = 28900
]

[
D = 28900, \quad \sqrt{D} = 170
]

Теперь применим формулу корней:

[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{150 \pm 170}{16}
]

Находим два корня:

( v_1 = \frac{320}{16} = 20 ) км/ч.( v_2 = \frac{-20}{16} ) (отрицательный корень, не подходит).

Следовательно, скорость катера по озеру равна ( 20 ) км/ч.

Таким образом, результаты:

Скорость катера по озеру равна ( 20 ) км/ч.