Чтобы найти производную функции ( y = (x - 1)(x^2 + 1) ), воспользуемся правилом произведения. Если функция представляется в виде ( y = u \cdot v ), то её производная ( y' ) вычисляется по формуле:

[
y' = u'v + uv'
]

Где ( u = x - 1 ) и ( v = x^2 + 1 ).

Сначала находим производные ( u' ) и ( v' ):

( u' = \frac{d}{dx}(x - 1) = 1 )( v' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x )

Теперь подставим всё в формулу для производной:

[
y' = u'v + uv' = (1)(x^2 + 1) + (x - 1)(2x)
]

Распишем это:

[
y' = x^2 + 1 + (x - 1)(2x)
]

Теперь упрощаем вторую часть:

[
(x - 1)(2x) = 2x^2 - 2x
]

Таким образом, получаем:

[
y' = x^2 + 1 + 2x^2 - 2x
]

Складываем подобные члены:

[
y' = (x^2 + 2x^2) + 1 - 2x = 3x^2 - 2x + 1
]

Итак, производная функции:

[
y' = 3x^2 - 2x + 1
]