Для решения уравнения ((x^2 - 36)^2 + (x^2 + 4x - 12)^2 = 0) обратим внимание на то, что сумма двух квадратов может быть равна нулю только в том случае, если оба квадрата равны нулю:

((x^2 - 36)^2 = 0)((x^2 + 4x - 12)^2 = 0)

Теперь решим каждое из этих уравнений по отдельности.

Первое уравнение:

[
(x^2 - 36)^2 = 0
]
Это уравнение выполняется, когда:
[
x^2 - 36 = 0
]
Отсюда:
[
x^2 = 36
]
[
x = 6 \quad \text{или} \quad x = -6
]

Второе уравнение:

[
(x^2 + 4x - 12)^2 = 0
]
Это уравнение выполняется, когда:
[
x^2 + 4x - 12 = 0
]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64
]
Решения квадратного уравнения находятся по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 8}{2}
]
Таким образом, у нас есть два решения:
[
x_1 = \frac{4}{2} = 2
]
[
x_2 = \frac{-12}{2} = -6
]

Теперь соберем все найденные решения вместе:

Из первого уравнения: (x = 6) и (x = -6)Из второго уравнения: (x = 2) и (x = -6)

Таким образом, все уникальные решения уравнения ((x^2 - 36)^2 + (x^2 + 4x - 12)^2 = 0):
[
x = 6, \quad x = 2, \quad x = -6
]

Объединяя все уникальные ответы, получается:
[
\text{Ответ: } x = -6, 2, 6
]