Для решения уравнения x2≡445mod 1005 x^2 \equiv 44_5 \mod 100_5 x2≡445mod1005, сначала нужно преобразовать числа из систем счисления с основанием 5 в десятичную систему.
Таким образом, уравнение x2≡445mod 1005 x^2 \equiv 44_5 \mod 100_5 x2≡445mod1005 становится x2≡24mod 25 x^2 \equiv 24 \mod 25 x2≡24mod25.
Теперь нужно решить уравнение x2≡24mod 25 x^2 \equiv 24 \mod 25 x2≡24mod25.
Для этого проверим, есть ли такие x x x, что x2 x^2 x2 дает в остатке 24 при делении на 25. Мы можем проверить все возможные значения x x x от 0 до 24 таккакмыберемпомодулю25так как мы берем по модулю 25таккакмыберемпомодулю25.
Для решения уравнения x2≡445mod 1005 x^2 \equiv 44_5 \mod 100_5 x2≡445 mod1005 , сначала нужно преобразовать числа из систем счисления с основанием 5 в десятичную систему.
Преобразуем 1005 100_5 1005 в десятичную систему:
1005=1⋅52+0⋅51+0⋅50=25 100_5 = 1 \cdot 5^2 + 0 \cdot 5^1 + 0 \cdot 5^0 = 25
1005 =1⋅52+0⋅51+0⋅50=25
Преобразуем 445 44_5 445 в десятичную систему:
445=4⋅51+4⋅50=20+4=24 44_5 = 4 \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^0 = 20 + 4 = 24
445 =4⋅51+4⋅50=20+4=24
Таким образом, уравнение x2≡445mod 1005 x^2 \equiv 44_5 \mod 100_5 x2≡445 mod1005 становится x2≡24mod 25 x^2 \equiv 24 \mod 25 x2≡24mod25.
Теперь нужно решить уравнение x2≡24mod 25 x^2 \equiv 24 \mod 25 x2≡24mod25.
Для этого проверим, есть ли такие x x x, что x2 x^2 x2 дает в остатке 24 при делении на 25. Мы можем проверить все возможные значения x x x от 0 до 24 таккакмыберемпомодулю25так как мы берем по модулю 25таккакмыберемпомодулю25.
Посчитаем квадраты чисел от 0 до 24 по модулю 25:
02≡0 0^2 \equiv 0 02≡012≡1 1^2 \equiv 1 12≡122≡4 2^2 \equiv 4 22≡432≡9 3^2 \equiv 9 32≡942≡16 4^2 \equiv 16 42≡1652≡0 5^2 \equiv 0 52≡062≡11 6^2 \equiv 11 62≡1172≡24 7^2 \equiv 24 72≡2482≡14 8^2 \equiv 14 82≡1492≡6 9^2 \equiv 6 92≡6102≡0 10^2 \equiv 0 102≡0112≡21 11^2 \equiv 21 112≡21122≡18 12^2 \equiv 18 122≡18132≡19 13^2 \equiv 19 132≡19142≡21 14^2 \equiv 21 142≡21152≡0 15^2 \equiv 0 152≡0162≡6 16^2 \equiv 6 162≡6172≡14 17^2 \equiv 14 172≡14182≡24 18^2 \equiv 24 182≡24192≡11 19^2 \equiv 11 192≡11202≡16 20^2 \equiv 16 202≡16212≡9 21^2 \equiv 9 212≡9222≡4 22^2 \equiv 4 222≡4232≡1 23^2 \equiv 1 232≡1242≡0 24^2 \equiv 0 242≡0Мы видим, что 72≡24mod 25 7^2 \equiv 24 \mod 25 72≡24mod25 и 182≡24mod 25 18^2 \equiv 24 \mod 25 182≡24mod25.
Таким образом, решения в десятичной системе:
x≡7mod 25 x \equiv 7 \mod 25 x≡7mod25x≡18mod 25 x \equiv 18 \mod 25 x≡18mod25Теперь нужно вернуть значения к системе счисления с основанием 5:
Для x≡7 x \equiv 7 x≡7:
710=125 7_{10} = 12_5
710 =125
Для x≡18 x \equiv 18 x≡18:
1810=335 18_{10} = 33_5
1810 =335
Итак, решения в системе счисления с основанием 5:
x≡125иx≡335 x \equiv 12_5 \quad \text{и} \quad x \equiv 33_5
x≡125 иx≡335