Рассмотрим оба уравнения.

Первое уравнение:
$$|p|(x+4)+p(x-4)=16.$$

Распишем его, учитывая два случая для $p$.

Случай 1: $p\ge 0$

Тогда $|p|=p$:
$$p(x+4)+p(x-4)=16,$$ или
$$p(x+4+x-4)=16,$$ что упрощается до:
$$p(2x)=16⟹x=\frac{16}{2p}=\frac{8}{p}.$$

Случай 2: ( p < 0 )

Тогда $|p|=-p$:
$$-p(x+4)+p(x-4)=16,$$ или
$$-px-4p+px-4p=16,$$ что дает нам:
$$-8p=16⟹p=-2.$$

Теперь рассмотрим второе уравнение:
$$|x-4|=0.$$ Это уравнение выполняется только при $x=4$.

Теперь нам нужно найти такие $p$, которые делают корни первого уравнения равным 4.

Случай 1: Если $p\ge 0$:
$$\frac{8}{p}=4⟹8=4p⟹p=2.$$

Случай 2: Если ( p < 0 ):
Здесь мы нашли $p=-2$, но второе уравнение не дает корень 4.

Таким образом, единственное значение $p$, при котором корни обоих уравнений совпадают, это $p=2$.

Ответ: $p=2$.