Для решения задачи используем данные о треугольниках и известных углах.

Рассмотрим треугольник (MNK) с углом ( \angle MNK = 86^\circ ) и треугольник (MKP) с углом ( \angle MPK = 56^\circ ). Мы знаем, что (MN=MK=MP), следовательно, все три стороны равны и равны длине (MK).

Сначала найдем угол ( \angle NKM ) в треугольнике (MNK). Зная, что сумма углов в треугольнике равна (180^\circ), мы можем написать:

[
\angle NKM = 180^\circ - \angle MNK - \angle KNM
]

Где ( \angle KNM ) – это угол при вершине (N), который мы пока не знаем, но он также присутствует в треугольнике.

Теперь рассмотрим треугольник (MKP):

[
\angle KMP = 180^\circ - \angle MPK - \angle PMK
]

Здесь (\angle PMK) также мы ещё не знаем.

Определим угол (NMP). Углы (NMP), (NKM) и (KMP) составляют внешний угол относительно точки (M):

[
\angle NMP = \angle NKM + \angle KMP
]

Теперь подставим значения известных углов в итоговое выражение.

Сначала найдём значения ( \angle NKM ) и ( \angle KMP ).

Сумма углов в треугольнике (MKP) и (MNK):

Для треугольника (MNK):
[
\angle NKM = 180^\circ - 86^\circ - \angle KNM
]

Для треугольника (MKP):
[
\angle KMP = 180^\circ - 56^\circ - \angle PMK
]

По сути, мы ищем угол (NMP). Но так как (MN = MK = MP), можно сказать, что угол между двумя равными сторонами остается фиксированным.

Теперь вернёмся к искомому углу:

Существует связь:
[
\angle NMP = \angle NKM + \angle KMP = (180^\circ - 86^\circ - x) + (180^\circ - 56^\circ - x)
]

Таким образом:
[
\angle NMP = 180^\circ - 86^\circ + 180^\circ - 56^\circ - 2x
]

При упрощении:

[
\angle NMP = 180^\circ + 180^\circ - 142^\circ - 2x = 218^\circ - 2x
]

Как итог, мы можем подытожить, что углы (NMP) зависит от углов в других треугольниках.

Закончил работу, располагается (NMP = NKM + KMP), и чтобы найти его, подставим все известные значения. После подстановки:

[
\angle NMP = 86^\circ + 56^\circ = 142^\circ
]

Таким образом, (\angle NMP = 142^\circ).

Ответ: ( \bold{NMP = 142^\circ} )