Чтобы решить задачу, давайте обозначим стороны равнобедренного треугольника MKP:

Пусть (MK = MP = a) (боковые стороны)(KP = b) (основание)

По дано:

Периметр треугольника MKP равен 56 см:
[
MK + KP + MP = a + b + a = 2a + b = 56 \quad ...(1)
]

Периметр треугольника MKR равен 42 см:
[
MK + KR + MR = a + KR + MR = 42 \quad ...(2)
]

Далее, для нахождения отрезка KR можем выразить его через основание KP и медиану MR. Так как MR — это медиана, она делит основание KP пополам. Таким образом, (KR) будет равен половине основания:
[
KR = \frac{b}{2}
]
Теперь подставим (KR) в уравнение (2):
[
a + \frac{b}{2} + MR = 42 \quad ...(3)
]

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (3).

Из уравнения (1) выразим (b):
[
b = 56 - 2a \quad ...(4)
]

Подставим (b) из уравнения (4) в уравнение (3):
[
a + \frac{56 - 2a}{2} + MR = 42
]
Упрощаем:
[
a + 28 - a + MR = 42
]
Сокращаем (a):
[
28 + MR = 42
]
Отсюда находим (MR):
[
MR = 42 - 28 = 14
]

Таким образом, длина медианы MR равна 14 см.