Ответ: все группы порядка $|G|=p^2$ ( $p$ — простое) — абелевы; в точности два изоморфных типа:
$$\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\text{и}\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$$
Доказательство (кратко).
1) Центр ненулевой. Для любой $p$-группы применима формула классов:
$$|G|=|Z(G)|+\sum [G:C_G(x_i)],$$ в сумме стоят индексы, большие $1$, и каждый такой индекс делится на $p$. Отсюда $|Z(G)|$ делится на $p$, значит $|Z(G)|\in \{p,p^2\}$.
2) Если $|Z(G)|=p^2$, то $Z(G)=G$ и $G$ абелева.
Если $|Z(G)|=p$, то $|G/Z(G)|=p$, т.е. $G/Z(G)$ циклична. Но если фактор $G/Z(G)$ цикличен, то $G$ абелева: пусть $\overline{g}$ порождает $G/Z(G)$; тогда любые $x,y\in G$ имеют вид $x=g^{a}z,y=g^b{z}^{\prime }$ с $z,z^{\prime }\in Z(G)$, и потому
$$xy=g^{a+b}z{z}^{\prime }=g^{b+a}{z}^{\prime }z=yx.$$ Итак, в любом случае $G$ абелева.
3) Классификация абелевых групп порядка $p^2$. По теореме о конечных абелевых группах (или простым соображением о порядках элементов):
- Если существует элемент порядка $p^2$, то он порождает циклическую группу порядка $p^2$, т.е. $G\cong \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$.
- Если нет элемента порядка $p^2$, то все ненулевые элементы имеют порядок $p$, значит $G$ — векторное пространство над ${\mathbb{F}}_p$. Поскольку $|G|=p^2$, это пространство размерности $2$, т.е.
$$G\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$$
Других вариантов не существует по приведённым рассуждениям. (Для $p=2$ это даёт циклическую группу порядка $4$ и «Клайнова четырёхэлементная» группа.)