Утверждение верно.
Теорема. Пусть $X$ — компактное пространство, $Y$ — хаусдорфово пространство, и $f:X\to Y$ — непрерывная биекция. Тогда $f$ — гомеоморфизм (то есть $f^{-1}$ непрерывно).
Доказательство (классический аргумент через замкнутые и компактные множества).
1) Если $C\subset X$ замкнуто, то $C$ компактен. Действительно, замкнутое подмножество компактного пространства компактно: любую открытую накрывающую $\{U_i\}$ множества $C$ можно дополнить множеством $X\setminus C$, получить открытую накрывающую $X$ и взять конечную подпокрывающую, которая пересекается с исходной, давая конечное подпокрытие $C$.
2) Образ компактного множества при непрерывном отображении компактен: если $K\subset X$ компактен и $f$ непрерывно, то для любой открытой накрывающей $\{V_j\}$ множества $f(K)$ набор предобразов $\{f^{-1}(V_j)\}$ даёт открытую накрывающую $K$, откуда по компактности берётся конечная подпокрывающая, дающая конечное подпокрытие для $f(K)$.
3) В хаусдорфовом пространстве любой компактный поднабор замкнут. Доказательство: пусть $K\subset Y$ компактен и $y\notin K$. Для каждого $x\in K$ выберем раздельные окрестности $U_x\ni y$ и $V_x\ni x$ (хаусдорфовость). Семейство $\{V_x{\}}_{x\in K}$ покрывает $K$, поэтому по компактности существует конечное подсемейство $V_{x_1},\dots ,V_{x_n}$; тогда $U_{x_1}\cap \cdots \cap U_{x_n}$ — окрестность $y$, не пересекающая $K$, значит $y$ является внутренней точкой дополнения $K$. Следовательно $K$ замкнуто.
4) Применяя п.1–3: если $C\subset X$ замкнуто, то $C$ компактен (п.1), значит $f(C)$ компактен (п.2), а в $Y$ компактное множество замкнуто (п.3). Значит $f$ переводит замкнутые множества в замкнутые, то есть является замкнутым отображением. Бикективное замкнутое отображение имеет непрерывный обратный (образ открытых множеств через обратную равен образом замкнутых), поэтому $f^{-1}$ непрерывно, и $f$ — гомеоморфизм.
Какие свойства критичны и где требуются осторожность:
- Необходима компактность домена (для сохранения конечных подпокрытий).
- Необходима хаусдорфовость кодомена (чтобы обеспечить, что образы компактных множеств замкнуты).
- Описанный аргумент использует свойства открытых/замкнутых множеств и компактности; попытки заменить это рассуждениями о последовательностях корректны только при первой счётности — в общем случае нужны сети/накрытия, как выше.
Противопример без хаусдорфовости. Пусть $X=\{0,1\}$ с дискретной топологией (компакт), а $Y=\{0,1\}$ с топологией Сиерпинского $\{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\}$ (не хаусдорфово). Тождественное отображение $f:X\to Y$ биективно и непрерывно, но обратное не непрерывно (например, $\{1\}$ открыто в $X$, но не в $Y$). Это показывает, что хаусдорфовость в утверждении необходима.