Утверждение некорректно: из $f^{\prime }(x_0)=0$ и $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ не следует, что $x_0$ не может быть точкой локального минимума. Приведу контрпримеры и правильные критерии.
Контрпримеры
- $f(x)=x^4$. Тогда $f^{\prime }(x)=4x^3$, $f^{\prime }(0)=0$; $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$, $f^{\prime \prime }(0)=0$. Но $x=0$ — строгий локальный минимум, так как $f(x)\ge 0$ и $f(x)>0$ при $x\ne 0$.
- Константная функция $f(x)\equiv C$. Все производные в любой точке нулевые, при этом каждая точка одновременно минимум и максимум.
Контрпример для обратного утверждения (нет экстремума):
- $f(x)=x^3$. Тогда $f^{\prime }(0)=0$, $f^{\prime \prime }(0)=0$, и в $0$ экстремума нет (точка перегиба).
Критерий по первому ненулевому члену (обобщённый тест по производным)
Пусть $f$ имеет в точке $x_0$ все производные до порядка $k$ и
$$f^{\prime }(x_0)=\cdots =f^{(k-1)}(x_0)=0,f^{(k)}(x_0)\ne 0.$$ Тогда по разложению Тейлора
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+o((x-x_0{)}^k).$$ Отсюда:
- если $k$ чётно и $f^{(k)}(x_0)>0$, то $x_0$ — строгий локальный минимум;
- если $k$ чётно и $f^{(k)}(x_0)<0$, то $x_0$ — строгий локальный максимум;
- если $k$ нечётно, то экстремума нет (изменение знака главного члена).
Критерий через выпуклость
- Если $f$ дважды непрерывно дифференцируема на окрестности точки и $f^{\prime \prime }(x_0)>0$, то $x_0$ — строгий локальный минимум.
- Если $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ на некотором интервале и $f^{\prime }(x_0)=0$, то $x_0$ — локальный минимум (необязательно строгий).
Однако условие $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ само по себе даёт неопределённость и требует дальнейшего анализа (вплоть до проверки старших производных или поведения функции).
Практические замечания
- Если высших производных либо нет, либо их трудно считать, удобнее проверять знак $f(x)-f(x_0)$ в малой окрестности или использовать численные/геометрические методы (поведение монотонности, выпуклость, субградиент для невырожденных точек и т.д.).
- Для функций с неаналитическим поведением (например, $f(x)=|x|$) следует применять понятия подпроизводных/субдифференциала: у $f(x)=|x|$ в $0$ производная не существует, но точка — минимальна.
Краткий вывод: нулевые первая и вторая производные не достаточны для отрицания минимума. Нужно рассматривать первую ненулевую производную (её порядок и знак) или локальную выпуклость функции.